tag:blogger.com,1999:blog-25264804478707628742024-02-08T00:09:58.083+05:30कुछ लोग... कुछ बातें... !Mathematics: King of abstraction... Queen of Sciences.Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.comBlogger57125tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-90209450964414236812015-07-31T09:31:00.000+05:302019-07-04T19:53:07.313+05:30...समीकरणरूपाय जगन्नाथाय ते नमः !<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
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पिछले दिनों <a href="https://twitter.com/aojha/status/590397407445155840" target="_blank">एक यज्ञवेदी</a> पर बनी रेखाओं को देख मैंने कहा - "वेदी पर बने ये खूबसूरत पैटर्न <i>ज्यामिति की माँ </i>है. क्योंकि ज्यामिति की शुरुआत यहीं से हुई थी. यज्ञ-वेदी रचना की ज्यामिति को '<i><a href="https://www.google.com/search?q=shulba+sutras&rlz=1C5CHFA_enUS568US568&oq=shulba+sutras&aqs=chrome..69i57j0l5.326j0j9&sourceid=chrome&es_sm=91&ie=UTF-8" target="_blank">शुल्बसूत्र</a>'</i> के नाम से जाना जाता है. इन प्राचीन सूत्र-श्लोकों में गणित के कई प्रतिष्ठित प्रमेय भी मिलते हैं।"<br />
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शुल्ब यानी डोरी। शुल्बसूत्र यानी रस्सी-सूत्र. आज भी यज्ञ वेदियों पर 'पैटर्न' धागे से ही बनाये जाते हैं. <br />
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जिससे कहा उसने पूछ लिया "पर <i>यूक्लिड एवेन्यू स्टेशन</i> के पास तो तुमने कहा था कि - '<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid" target="_blank">यूक्लिड</a> को <i>फादर ऑफ़ ज्योमेट्री</i> कहते हैं?" खैर… ज्यामिति के जन्म की बात फिर कभी.<br />
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अभी आप रेखाओं से बना ये <b>'ग्राफ' </b>देखिये जो मैंने बनाया 47 समीकरणों और पता नहीं कितने समय में ! मैंने 'ग्राफ' कहा क्योंकि ये कलाकृति नहीं सिर्फ एक गणितीय रेखा चित्र है [वैसे यदि आप की नजरें इसे कला के रूप में देख पा रही हैं तो आप इसे कलाकृति कह सकते हैं] जो 47 समीकरणों से मिलकर बना है.<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisFJuK_JKuzkszSPMNpx7bYQ3SR2XdFpROriAW7pUYpAI96yBUVX2yojgwCzkAX6FxRNG6abJ8QR2WooxfCkbE-NGbrqWUOLfgHnJ0O-cckKKZRnQkONskXIkkvIuP4TjCgCP1F-rvPP4/s1600/Jagannath_equations_05-001.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisFJuK_JKuzkszSPMNpx7bYQ3SR2XdFpROriAW7pUYpAI96yBUVX2yojgwCzkAX6FxRNG6abJ8QR2WooxfCkbE-NGbrqWUOLfgHnJ0O-cckKKZRnQkONskXIkkvIuP4TjCgCP1F-rvPP4/s320/Jagannath_equations_05-001.jpg" width="320" /></a></div>
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<span style="text-align: left;">"नीलाचलनिवासाय नित्याय परमात्मने. बलभद्रसुभद्राभ्यां समीकरणरूपाय जगन्नाथाय ते नमः". </span></div>
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यदि भरोसा न हो रहा हो तो आगे पढ़े और हो गया हो तो आप वैसे भी पढ़ेंगे ही -</div>
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अब बात <b>क्यों</b> और <b>कैसे</b> की.</div>
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पहले बात <b>"कैसे"</b> की<b> </b>- </div>
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नीचे एक अपूर्ण तस्वीर देखिये जिसमें इस चित्र के बनाने के विभिन्न चरण दीखते हैं. आप ग्राफ की कुछ आकृतियों को आसानी से पहचान लेंगे - वृत्त और रेखाएं तो सहज ही. इसके अतिरिक्त एलिप्स (अंडाकार), रेखा, पैराबोला इत्यादि के अलावा कुछ थोड़े जटिल समीकरण भी हैं। नीचे के ग्राफ में आप अलग-अलग रंगों को देखेंगे तो पता चलेगा कौन सा हिस्सा किस प्रकार बना है. जैसे चित्र का सबसे बड़ा वृत्त: <b>x^2 + y^2 = 100. </b>यानी १० त्रिज्या (रेडियस) का एक वृत्त जिसका केंद्र शुन्य है. </div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRXl8isQpk3jtRi4E3bXOdwlIb9AfCiDvR3dO2pUJUoI-zWRy6rLgogXA1Wk6wOzQQnQ-EtCbUm2COfv7yOqR5Wcm5LBb5Nh82GCnIL-KvUJeSPjkFbA2YY3jYjtvy3iIS8OMOeYHbRv8/s1600/Jagannath_equations_01-001.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRXl8isQpk3jtRi4E3bXOdwlIb9AfCiDvR3dO2pUJUoI-zWRy6rLgogXA1Wk6wOzQQnQ-EtCbUm2COfv7yOqR5Wcm5LBb5Nh82GCnIL-KvUJeSPjkFbA2YY3jYjtvy3iIS8OMOeYHbRv8/s320/Jagannath_equations_01-001.jpg" width="319" /></a></div>
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अब बात कुछ अन्य हिस्सों की। y = ।x। का ग्राफ होता है V की तरह। y = ।2x।, y = ।3x। इत्यादि का ग्राफ भी ऐसा ही होता है… आप नीचे नीली और लाल रेखाओं से घिरे क्षेत्र को देखिये और अगर x या y को एक सीमा के भीतर ही रख दिया जाय तो… आप ढूंढिए कि चित्र का कौन सा हिस्सा इन दो समीकरणों से बना है: <b>y+3= |4x|, y+2=|x|, {y < -1.6}</b></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja2r3X4TmXycx6Vf-wGr8QtBw7tZT8HLRedMFptaJGZED6C-XEde2x1GhxoUt2dIx_IbPOu_3xn7z4SeA0neLeph5ajgwzWdaUfKs71gLXZYkVzDeHIHUl6jAWCfEir8J870W6-AhQMvM/s1600/intersection+of+two+graphs.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja2r3X4TmXycx6Vf-wGr8QtBw7tZT8HLRedMFptaJGZED6C-XEde2x1GhxoUt2dIx_IbPOu_3xn7z4SeA0neLeph5ajgwzWdaUfKs71gLXZYkVzDeHIHUl6jAWCfEir8J870W6-AhQMvM/s400/intersection+of+two+graphs.png" width="400" /></a></div>
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सीमा तय करने से याद आया चित्र का वो हिस्सा जो सिर्फ एक समीकरण से बन गया. उस हिस्से के लिए बहुत सारे समीकरण सोचने के बाद एक दिन ध्यान आया कि <i>कार्टेसियन</i> की जगह यदि <i>पोलर</i> का इस्तेमाल किया जाय तो मामला आसानी से हल हो सकता है. फिर थोड़ा सोचने और कुछ समीकरणों से प्रयोग करने के बाद जो समीकरण हाथ लगा वो शायद इस चित्र का सबसे खूबसूरत समीकरण है !
<b>r=cos(124theta)^3+10, .65 < theta <2.5 9.6 < r < 10</b>
यानी नीचे के ग्राफ को r और theta पर सीमा लगा कर काट छांट कर देने से वो खबसूरत हिस्सा बन गया. समीकरण एक और... नीचे का ग्राफ देखिये। खूबसूरती कहाँ लिखी जा पाएगी इस सरलता की ... आप पढ़ते हुए शायद समझ पाएं। काट छांट से मतलब कुछ ऐसा है कि जैसे पेंटिंग बनाने में <i>ब्रश</i> का एक <i>स्ट्रोक</i> ज्यादा चल गया तो पेंटिंग गयी उसका यहाँ उल्टा है। बड़े ग्राफ को सीमित कर काट-छाँट कर ये ग्राफ बना. जैसे मकान बनाने का एक तरीका होता है एक-एक ईंट जोड़कर बनाने का पर वहीँ एलोरा के <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kailasa_temple,_Ellora" target="_blank">कैलासनाथ मंदिर </a>के बनाने का भी एक तरीका था - पहाड़ को काट उसमें मंदिर गढ़ना !</2></b></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkqJSjguePMpIhsmjMgDNAshU3hIqGz7aJhELUKlfw3he-iA1XksPTFzZVvqoxQEw5CSiJe9bcUmHMrNIpSavwodBCUpmTZZpcWk4D5p8HjiYTC0Uv5TLzNBhoM0VzLmp5fzfgfsi4kio/s1600/polar-1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="235" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkqJSjguePMpIhsmjMgDNAshU3hIqGz7aJhELUKlfw3he-iA1XksPTFzZVvqoxQEw5CSiJe9bcUmHMrNIpSavwodBCUpmTZZpcWk4D5p8HjiYTC0Uv5TLzNBhoM0VzLmp5fzfgfsi4kio/s400/polar-1.png" width="400" /></a></div>
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इसी तरह आँखों के ऊपर का हिस्सा। <i>हाइपरबोला</i> और कुछ <i>पॉलिनोमिअलस</i> सोचने के बाद अंत में <i>लॉग</i> और <i>एक्सपोनेंशियल</i> पर आकर बात रुकी - इन समीकरणों से चित्र का कौन सा हिस्सा बना ये तो आप स्वयं देख सकते हैं. </div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8SFbtsbScioI_Y0ny7UD3-AFN5kOGrMsXkGmQEt7g-a5vv4VYTt8kXTweu52AP7A94KXHd2uaM0YJMSLiXd3I1WomtPQOVWs_n289ogoEhn86rKhj8Hn70E6WRySSptWCTSEdbau0mrk/s1600/Log+-+Exponentiation+.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="275" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8SFbtsbScioI_Y0ny7UD3-AFN5kOGrMsXkGmQEt7g-a5vv4VYTt8kXTweu52AP7A94KXHd2uaM0YJMSLiXd3I1WomtPQOVWs_n289ogoEhn86rKhj8Hn70E6WRySSptWCTSEdbau0mrk/s400/Log+-+Exponentiation+.png" width="400" /></a></div>
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हाँ दो और <i>पोलर </i>समीकरण भी तो है - </div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhahW-QKBo6SPVKs-1s7uqtG1GkTzsh2zaeGr4wgk2oo9Y16Qvm9nZlQZEJwUEa0-Pq7MafjerpqLrpLNNqXlLbIUeuVyZhrzgkBYx8z7BviS2ksYqjoQshyE6upz7AZ_luPVBC-FFzEE4/s1600/polar+2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="193" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhahW-QKBo6SPVKs-1s7uqtG1GkTzsh2zaeGr4wgk2oo9Y16Qvm9nZlQZEJwUEa0-Pq7MafjerpqLrpLNNqXlLbIUeuVyZhrzgkBYx8z7BviS2ksYqjoQshyE6upz7AZ_luPVBC-FFzEE4/s320/polar+2.png" width="320" /></a></div>
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जाते जाते एक अन्य सरल समीकरण - तिलक-अंश:</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjXI1diz2SS7EsFhiSpIae7ykHCZHsEeertVnmbJbY4vSAZxOm-16kKo5k8MnyyzASyiI_cOHKzHB9QsKgh0YJh-3s9fwoF-8WQncHx5eTLpyWAPsw3Y4r-rLZg7MuocNzXgdsPqcXbYo/s1600/Circle-Parabola.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="185" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjXI1diz2SS7EsFhiSpIae7ykHCZHsEeertVnmbJbY4vSAZxOm-16kKo5k8MnyyzASyiI_cOHKzHB9QsKgh0YJh-3s9fwoF-8WQncHx5eTLpyWAPsw3Y4r-rLZg7MuocNzXgdsPqcXbYo/s320/Circle-Parabola.png" width="320" /></a></div>
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बाकी हिस्से तो आप समझ ही गए होंगे। सरल और सुन्दर! </div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2IL9fLr2ps_ItOLwrIvB6c2C1wW-A9-c3ONcx6Cy1JVMmJHahyApySOdVLA42rjkKcTpKKexgbDVCvGexwVOCyLrZL_06BYNU6XDYNLOjZNYONJUSSU7QUei7KaNEaLTOzYgvNC6okWo/s1600/Jagannath_equations_02-001.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2IL9fLr2ps_ItOLwrIvB6c2C1wW-A9-c3ONcx6Cy1JVMmJHahyApySOdVLA42rjkKcTpKKexgbDVCvGexwVOCyLrZL_06BYNU6XDYNLOjZNYONJUSSU7QUei7KaNEaLTOzYgvNC6okWo/s320/Jagannath_equations_02-001.jpg" width="319" /></a></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoBGz2zsVo0OrdtYNg6SLmcSYH6gjBO8J9cSjf8XWuyrd4rJqglrsIGlu2BHhO824kVung1t5-BSdHOi8km7eGFgKUFC_oxTDT26tVjiLyt4kwQqyeY2Nc_qm9gxg7mNzO4PnzWWx-E7k/s1600/Jagannath_equations_03-001.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoBGz2zsVo0OrdtYNg6SLmcSYH6gjBO8J9cSjf8XWuyrd4rJqglrsIGlu2BHhO824kVung1t5-BSdHOi8km7eGFgKUFC_oxTDT26tVjiLyt4kwQqyeY2Nc_qm9gxg7mNzO4PnzWWx-E7k/s320/Jagannath_equations_03-001.jpg" width="320" /></a></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3uOXZT7PrrMO-IyX1E7JFmhLCg6q87p2llKMiVrF2Rv4oh1N4hVXljs3Tshl_Wn853FSFNS47Pa53mDLz_GACFJU1OcEeNcW38HdCEgZP59ngP4Wjbrcr6963S4AsTqzmbJz2szk7RE4/s1600/Jagannath_equations_06-001.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="262" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3uOXZT7PrrMO-IyX1E7JFmhLCg6q87p2llKMiVrF2Rv4oh1N4hVXljs3Tshl_Wn853FSFNS47Pa53mDLz_GACFJU1OcEeNcW38HdCEgZP59ngP4Wjbrcr6963S4AsTqzmbJz2szk7RE4/s320/Jagannath_equations_06-001.jpg" width="320" /></a></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifjb6HAOi9lUI4kC8Gre486t0Ela0jrql2CjEfbbiKW4xYUReuIGnyv_X0IiiyTIN2uCBZ-KFqz1zNstEBy4snmWzMkEw1UrF-VT1y54K3b8_-OrmA4lI74-tssapVLzS5jMURJVA9Bx8/s1600/Jagannath_equations_04-001.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifjb6HAOi9lUI4kC8Gre486t0Ela0jrql2CjEfbbiKW4xYUReuIGnyv_X0IiiyTIN2uCBZ-KFqz1zNstEBy4snmWzMkEw1UrF-VT1y54K3b8_-OrmA4lI74-tssapVLzS5jMURJVA9Bx8/s320/Jagannath_equations_04-001.jpg" width="320" /></a></div>
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अब बात<b> 'क्यों'</b> की -<br />
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'क्यों' का जवाब इतना भारी भी नहीं है. आप तो जानते ही हैं कि "माँ को अपने बेटे और किसान को अपने लहलहाते खेत देखकर जो आनंद आता है, वही आनंद बाबा भारती को अपना घोड़ा देखकर आता था। और वैसा ही कुछ आनंद गणित देख…" आगे आप जो सोच रहे हैं। …वैसा कुछ नहीं है।<br />
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असली बात -<br />
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यदि आप भी 'उस जमाने' के ब्लॉगर हैं तो आपको याद होगा वो जमाना जब <i>गूगल रीडर</i> और <i>बज्ज</i> हुआ करते थे. तब हमने एक पोस्ट <i>शेयर</i> किया था (शायद २०११ में). किसी ने बैटमैन को ऐसे ही बनाया था (<a href="http://gizmodo.com/5826056/the-batman-equation" target="_blank">शायद ये</a>). तब अपने <a href="http://girijeshrao.blogspot.com/" target="_blank">आलसीजी</a> ने कहा था - "ऐसे ही भगवान जगन्नाथ को बनाइये." हमने कहा - "बिलकुल कोशिश करेंगे". उस समय बात उतनी ही गंभीरता से ली गयी थी जितनी एक <i>शेयर</i> किये गए <i>लिंक</i> के <i>कमेंट</i> पर कही गयी बात ली जाती है. पर '<i>समहाउ</i>' ये बात कभी दिमाग से निकली नहीं. किसी कोने में कुलबुलाती रही. कभी कभी सोचता कि कौन सा हिस्सा कैसे बन सकता है. जब कभी कोई <i>फ्रैक्टल</i> या खूबसूरत ग्राफ दिखा या जब कभी रथ यात्रा-पूरी-जगन्नाथ भगवान की बात सुनाई या दिखाई दी. जब-जब <a href="http://www.moma.org/" target="_blank">मोमा</a> गया… और ऐसे ही कई पल हुए जब राख में दबी इस बात की चिंगारी सुलगती रही. फिर एक दिन भगवान जगन्नाथ के चित्र का <i>प्रिंटआउट</i> लिया और <i>डेस्क</i> पर बैठे-कॉल्स-मीटिंग-ऑफिस आते जाते-खींचम-खाँची-कट्टम-कुट्टी से जो <i>एब्सट्रैक्ट</i> आर्ट मेरे नोटबुक में बन जाता है जो सिर्फ मैं ही समझ पाता हूँ. [कभी उन्हें खोदना है… बहुत सी बातें-भावनायें जो पन्नों पर उतर न सकी उन नोटबुक्स के पन्नों की दबी पड़ी है. खैर...] उन्ही के बीच से भगवान जगन्नाथ के इस समीकरण रूप का अभ्युदय हुआ ! ....जब कार्य पूरा हुआ तो लगा मेहनत बेकार नहीं गयी. ऐसे और प्रयास किये जा सकते हैं. और अगर अच्छे से <i>फ्रेम</i> करा कर घर में लगाया जाय तो <i>मॉडर्न आर्ट</i> से तो बेहतर है ही.* इस कला में आगे भी और हाथ आजमाने का मन है. वैसे कला के नाम पर साड़ी का किनारी, आम-अमरुद पत्ती के साथ, कमल का फूल पानी के साथ ('आई थिंक बस') इससे ज्यादा कभी कुछ बना नहीं पाए...**<br />
<br />
… रेखाओं का खेल है <strike>मुकद्दर</strike> रेखागणित !<br />
<br />
वेदांग ज्योतिष में कहा गया है -<br />
<br />
यथा शिखा मयूराणां नागानां मणयो यथा।<br />
तथा वेदाङ्गशास्त्राणां गणितं मूर्ध्नि स्थितम्॥<br />
<br />
~Abhishek Ojha~<br />
<br />
[* ये शुभ काम तो मैं जल्दी ही करने वाला हूँ :) ]<br />
[*वैसे कला में रूचि की इस सीमा के बाहर एक '<i>एक्सेप्शन</i>' का दौर भी गुजरा है ! ]</div>
</div>
Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com42tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-16263755421818670622014-08-22T12:03:00.000+05:302014-08-22T22:55:46.825+05:30संस्कृत छंदों और संगीत के गणित से फील्ड्स मेडल तक <div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<b id="docs-internal-guid-782e48ca-fc60-79a0-e31a-75c83f581a3a" style="font-weight: normal;"><br /></b>
<br />
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">संस्कृत के छंदो, तबला और अंको से खेलने वाले विलक्षण गणितज्ञ मंजुल भार्गव को इस वर्ष गणित के सर्वोच्च पुरस्कार फील्ड्स मेडल से सम्मानित किया गया. फील्ड्स मेडल कमिटी ने कहा - "अद्भुत </span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; line-height: 1.15; white-space: pre-wrap;">रूप से </span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">रचनात्मक गणितज्ञ मंजुल भार्गव के कार्य ने </span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">संख्या सिद्धान्त</span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> पर गहरा प्रभाव छोडा हैं। गणित के </span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">कालातीत खूबसूरत सवालों</span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> में गहरी रुचि रखने वाले भार्गव ने ऐसे सवालो को हल करते हुए गहरी समझ प्रदान करने वाले सहज और सशक्त तरीकों </span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">की खोज की</span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; line-height: 1.15; white-space: pre-wrap;"> है."</span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
<br />
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">पहले बात अंक सिद्धांत (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory" target="_blank">नंबर थियरी</a>) और कालातीत खूबसूरत सवालों की - गणित में अंक-सिद्धांत </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">पूर्ण अंको का अध्ययन</span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> है जैसे १,२, ३, -२०, ५०००, ०, ५० इत्यादि. पूर्णांकों के गुण, उनका वर्गीकरण (सम, विषम, रूढ़ संख्यायें इत्यादि. ) तथा उनके आपसी रिश्तों का अध्ययन. उस ज्यामिति का अध्ययन जिसके कोने पूर्णांकों से बने हो. पूर्ण अंको में क्रम-रूप-पैटर्न ढुंढना. ऐसे समीकरणो का अध्ययन जिनके हल पूर्ण अंक होते हैं. इत्यादि। पूर्णांकों का अध्ययन करते हुए कई नए सवाल और जवाब निकलते जाने से बनने वाला गणित. गणित का वो रूप जो मानव ने सबसे पहले सीखा और हम आज भी बचपन में सबसे पहले गिनती सीखते हैं. आज ये अपने आपमें गणित की एक पूर्ण शाखा है - इतनी महत्त्वपूर्ण की इसे </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">गणित की रानी</span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> भी कहते हैं. </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">कालातीत खूबसूरत सवाल </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">यूँ होते है कि जो किसी कम पढ़े लिखे व्यक्ति को भी आसानी से समझाए जा सकते हैं. पर उन्हें हल करना महारथी गणितज्ञों के बस का भी नहीं होता ! उनको हल करते हुए खूबसूरत गणित की परतें खुलती जाती हैं. जैसे गणित का सबसे प्रसिद्ध और एक लम्बे समय तक कठिनतम समझा जाने वाला सेलेब्रिटी सवाल - <a href="http://baatein.aojha.in/search/label/Fermat%27s%20Last%20Theorem" target="_blank">फ़र्मैट का आखिरी प्रमेय</a>. </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">मंजुल भार्गव <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pingala" target="_blank">पिंगल</a>-<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Hemachandra" target="_blank">हेमचन्द्र</a>-<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta" target="_blank">ब्रह्मगुप्त</a>-<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Narayana_Pandit" target="_blank">नारायण पंडित</a>-<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat" target="_blank">फ़र्मैट</a>-<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" target="_blank">गॉस</a>-<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan" target="_blank">रामानुजन</a>-<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles" target="_blank">एंड्रू वाइल्स</a> घराने के गणितज्ञ हैं ! वैसे ये घराना मैंने अभी-अभी बनाया है. दरअसल ये वो महान गणितज्ञ हैं जिनकी विरासत को मंजुल भार्गव ने आगे बढ़ाया है. उनके काम और उनकी असाधारण उपलब्धियां उनको इन महान गणितज्ञों की श्रेणी में ला खड़ा करते हैं. गणित के अलावा भी मंजुल भार्गव का व्यक्तित्व बहुत रोचक है. कनाडा में जन्म, अमेरिका में पले-बढे, जयपुर में अपने दादाजी के सानिद्ध्य में संस्कृत-संगीत और प्राचीन भारतीय गणित का अध्ययन, माँ से अनौपचारिक रुप से औपचारिक गणित की शिक्षा। नियमित पढाई छोड़ कर बीच बीच में या तो वो अपनी माँ की गणित की कक्षा (जो गणित की एक प्रोफ़ेसर हैं) में जाकर बैठते या भारत में अपने दादाजी के साथ (संस्कृत के प्रोफ़ेसर) संस्कृत और संगीत (तबला) सीख रहे होते. बाद में उन्होंने विख्यात ज़ाकिर हुसैन से भी संगीत की शिक्षा ली. </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">प्राचीन भारत में गणित की समृद्ध परम्परा रही है. मंजुल भार्गव ने गणित उसी परंपरा से सीखन शुरू किया. संस्कृत के छंदों में भी गणित का इस्तेमाल होता है. </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">पिंगल</span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> ने सर्वप्रथम छंदशास्त्र में (लगभग ४०० ई पू, कई इतिहासकारो के अनुसार पिंगल </span><span style="background-color: white; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">प्रसिद्ध व्याकरणाचार्य महर्षि </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">पाणिनि के भाई थे) गुरु (s) और लघु (।) वर्णो का जिक्र किया। उन्होंने किसी भी छंद को द्विघाती (बाइनरी) में लिखने के साथ वर्णो की संख्या और क्रम का भी वर्णन किया. संभवतः ‘कॉम्बिनेटोरिक्स’ और ‘बाइनरी’ का विश्व में कहीं भी पहला लिखित रूप यही है. लघु को एक तथा गुरु को दो वर्ण माने तो एक निश्चित वर्ण समूह से कितने छंद संभव है? इस सवाल के हल ने ही विख्यात फिबोनाची क्रम को जन्म दिया ! पिंगल के मेरु प्रस्तर (आज का पास्कल ट्रेंगल) और मात्रा-मेरु में फिबोनाची के प्रारंभिक विचार थे. फिबोनाची क्रम का वर्णन विरहांक (६००-८०० ई), गोपाल (११३५ ई के पहले) तथा हेमचन्द्र (११५० के पहले) ने किया। जैन विद्वान हेमचन्द्र, जिन्हे </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">कलिकाल सर्वज्ञ </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">भी कहते हैं, ने गोपाल की व्याख्या को समृद्ध कर आज के फिबोनाची क्रम का स्पष्ट वर्णन किया। कालांतर में नारायण पंडित (१३५६ ई) ने गणित कौमुदी में सामासिक-पंक्ति का जिक्र किया। फिबोनाची क्रम सामासिक पंक्ति का एक विशेष रूप भर है. फिबोनाची ने इस क्रम का जिक्र १२०२ ई में किया. फिबोनाची क्रम को कई गणितज्ञ </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">गोपाल-हेमचन्द्र नम्बर्स</span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> के नाम से जानते हैं. मंजुल भार्गव के मुंह से फिबोनाची क्रम की जगह हेमचन्द्र नम्बर्स सुनना सुखद लगा. फिबोनाची क्रम और सौंदर्य अनुपात संभवतः प्रकृति में पाये जाने वाले गणित की खूबसूरती के सबसे बड़े उदाहरण हैं. गणित से मंजुल भार्गव का पहला परिचय इन संस्कृत छन्दो और शास्त्रीय संगीत (तबला) के धुनों से ही हुआ. </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">हावर्ड में स्नातक की पढाई करते हुए भार्गव ने गॉस की किताब Disquisitiones Arithmeticae पढ़ा, महानतम गणितज्ञ गॉस ने ये किताब 21 साल के उम्र में लिख डाला था। ये पुस्तक संख्या सिद्धान्त के गीता की तरह है। जैसे हर कोई कह देता है “गीता में लिखा है” वैसे ही हर अंक शास्त्री के लिए ये किताब है… पर गीता की ही तरह बहुत कम ने इसे अक्षरशः पढ़ा होता है। इस किताब में गॉस ने अनगिनत सिद्धांतों के अलावा अंको के एक ख़ास रूप 'बाइनरि क्वाड्रेटिक फॉर्म्स' की चर्चा की थी। वो अंक जो एक खास नियम का पालन करते हैं। फिर उन्होने इन ख़ास अंको को मिलाकर इसी परिवार के नए अंक बनाने का एक </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">संयोजन नियम</span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> भी दिया। ये संयोजन नियम एक तरह से बीजगणितीय संख्या सिद्धान्त के मुख्य उपकरण की तरह हैं। पर गॉस ने 20 पन्नों में इसे बड़ी कठिन गणितीय भाषा में समझाया था। मंजुल भार्गव ने इन अंको और नियमों को समझने का एक बिलकुल नया क्रांतिकारी तरीका दिया। अंको को रुबिक क्यूब के कोनो से सम्बंधित कर उन्होंने एक नया तरीका ईजाद किया। साथ ही अपने इस नए तरीके से उन्होने कई नए संयोजन नियम भी बनाए और द्विघाती (क्वाड्रेटिक) की जगह कई उच्चतर पदीय अंको के लिए नियम भी दिए. उन्होंने कुल 13 </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">नए संयोजन नियमो</span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> की खोज की। गॉस के १८०१ में लिखे संयोजन नियम के बाद दो सौ वर्षों तक इससे पहले किसी ने नहीं सोचा था कि उच्चतर पदीय रूप वाले अंको के लिए ऐसे नियम हो भी सकते हैं! अंक सिद्धांत के लिए मंजुल भार्गव के इस नए तरीके और शोध ने जैसे एक नए क्षेत्र को ही जन्म दे दिया. </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">मंजुल भार्गव ने </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">हाइपर एलिप्टिक कर्व </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">पर भी काम किया है। आसान भाषा में समझना चाहें तो ये ज्यामितीय अध्ययन है इस बात का कि.... किसी गणितीय संगणना से एक वर्ग संख्या आएगी या नहीं ! ऐसे कर्व्स के एक खास वर्ग को </span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: italic; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">एलिप्टिक कर्व्स</span><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> कहते हैं जिनका इस्तेमाल अब तक के सबसे प्रसिद्ध गणितीय सवाल फ़र्मैट के लास्ट थिओरम को हल करने में भी हुआ था। ये भी एक सुखद संयोग है कि उस ऐतिहासिक सवाल को हल करने वाले प्रिंस्टन विश्विद्यालय के ही एंड्रू वाइल्स के दिशा निर्देशन में मंजुल भार्गव ने पीएचडी की. संसार के सर्वश्रेष्ठ अंक सिद्धांत के विशेषज्ञ संभवतः अभी प्रिंस्टन विश्वविद्यालय में ही हैं. एक प्रसिद्द और अत्यंत कठिन सवाल है कि एलिप्टिक कर्व्स कितने वास्तविक (रेशनल) अंको से होकर गुजरते हैं. एक, दो, तीन,.... अनंत या एक भी नहीं ! मंजुल भार्गव ने फिर एक बार कर्व्स और उनके वास्तविक बिन्दुओं में सम्बन्ध के नए तरीको से ये समझना आसान किया कि ऐसे कर्व पर कितने रेशनल पॉइंट होंगे। </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">एक और प्रसिद्ध सवाल जो महान गणितज्ञ फ़र्मैट के जमाने से ही चला आ रहा था वो ये कि क्या कोई ऐसा द्विघाती रूप हो सकता है जिस रूप में सारी संख्याएँ लिखी जा सके? जैसे क^२ + ख^२ अर्थात दो संखाओं के वर्ग के योग का रूप ऐसा रूप नहीं है जिसमें सारे अंक लिखे जा सके। लैंगरेंज ने पहली बार बताया कि हर अंक को चार संख्याओं के वर्ग के योग के रूप में लिखा जा सकता है (क^२+ख^२+ग^२+घ^२). इसके लगभग सौ वर्षों बाद रामानुजन ने चार अंको के इस्तेमाल से ऐसे ५४ रूप दे दिये जिनमें सारी संख्याओं को लिखा जा सकता है. फिर ये सवाल आया कि ऐसे कितने रूप (फॉर्म्स) हो सकते हैं? १९९० के दशक में सवाल बदल कर ये हो गया कि क्या ऐसा कोई अंक है जिससे छोटी हर संख्या को अगर एक दिए गए रूप में लिखा जा सका तो फिर उस रूप में हर संख्या को ही लिखा जाना संभव है. फिर कुछ गणितज्ञों के प्रयास से ये अनुमान (कंजेक्चर) लगा कि शायद ये संख्या २९० है. मंजुल भार्गव ने अंततः ये साबित किया कि .... २९० और उससे छोटी २८ ऐसी संख्याएँ है कि अगर किसी द्विघाती रूप में इन २९ अंको को लिखा जा सकता है तो वो अंको का वैश्विक रूप हुआ अर्थात उस रूप में हर संख्या लिखी जा सकती है। </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">संक्षेप में कहना हो तो - मंजुल भार्गव ने बीजगणितीय अंक सिद्धांत की दुनिया के उन चीजों को गिनने के तरीके दिए हैं जो इससे पहले अगम्य थे ! और इन तरीकों ने गणितज्ञों के लिए नयी दुनिया के दरवाजे खोले जहाँ अब कई गणितज्ञ भ्रमण कर नित नयी चीजें ढूंढ पा रहे हैं. </span></div>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">भार्गव एक शुद्ध गणितज्ञ हैं. इस घराने के गणितज्ञ गणित सिर्फ उसकी खूबसूरती और अपनी समझ, अपने सुकून के लिए पढ़ते हैं उन्हें गणित का कहीं इस्तेमाल नहीं करना होता। बल्कि जब उनके गणित का कहीं इस्तेमाल होने लगता है तो उन्हें आश्चर्य ही होता है. पर अक्सर ऐसा गणित उपयोग और विज्ञान की तरफ अपना रास्ता ढूंढ ही लेता है. जैसे रूढ़ संख्याओं का भला क्या उपयोग हो सकता है ? एक साधारण उदाहरण लेते हैं.... किसी अंक का गुणनखण्ड हम सबने निकाला होगा। दो संख्याओं का गुणनफल निकालना हो तो वो बहुत आसान होता है पर गुणनखण्ड निकलना उससे थोड़ा कठिन. ठीक यही कम्प्यूटर के लिए भी होता है. कितनी भी बड़ी रूढ़ संख्याएं हो उनका गुणनफल कम्यूटर कुछ पलों में आसानी से निकाल सकता है. पर अगर इसी सवाल का उल्टा करने को कहा जाय और अगर बहुत बड़ी संख्या हो तो कम्प्यूटर भी अरबों खरबों साल लगा दे ! गणितज्ञों को ऐसे सवालों का हल ढूंढने में आनंद आता है. पर खूबसूरती ये है कि सिर्फ आनंद और खूबसूरती के लिए हल किये जाने वाले ऐसे सवालों का इस्तेमाल हर जगह होने लगता है.… जैसे ऐसे सवालों का इस्तेमाल क्रेडिट कार्ड से किये जाने वाले भुगतान में होता है. सुचना सुरक्षित करने में (एन्क्रिप्शन)… आपके क्रेडिट कार्ड की सूचना से भुगतान बहुत आसान पर भुगतान की सुचना से क्रेडिट कार्ड की जानकारी निकलना लगभग असंभव !</span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">मंजुल भार्गव रामानुजन की तरह उन विलक्षण गणितज्ञो की श्रेणी में आते हैं जिनके पास अद्भुत अंतर्दृष्टि (इंट्यूशन) होती है. जो गणित को एक उच्चतर स्तर पर लेकर जाते हैं. जिनके लिए गणित सत्य और खूबसूरती की खोज है. गणित के कठिनतम सवालों को देखने का जिनके पास एक जादुई नजरिया होता है. उनके लिए गणित के किसी कठिन अबूझ से सवाल को हल करने का अर्थ होता है सवाल को बिलकुल ही एक नए नजरिये से देखना। इस नजर से देखा भी जा सकता है पहले किसी ने सोचा भी नही होता. पर सुनने के बाद लगे यही तो असली तरीका है सोचने का - विशिष्ट पर सरल ! मंजुल भार्गव की सोच इतने अद्वितीय रूप से विशिष्ट होती है कि कोई भी गणितज्ञ पढ़ते हुए बता दे कि ऐसा मंजुल भार्गव ही सोच सकते हैं ! जैसे एक कलाकार की कला पहचान होती है, एक कवि की कविता और एक संगीतज्ञ का संगीत। </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">मंजुल भार्गव गणित को विज्ञान से अधिक कला मानते हैं. उनके अनुसार वो गणित में उन्हीं कारणों से खोये रहते हैं जिन कारणों से संगीत और कविता में. उनके लिए अंक जैसे एक पंक्ति में खड़े हो जाते दीखते हों, अंतरिक्ष में, वायुमंडल में, रुबिक क्यूब के कोनों पर, संस्कृत अक्षरों में (वो संस्कृत के व्यंजनों को उच्चारण के आधार पर बना 5x5 का मैट्रिक्स देखते हैं), कविताओं में, तबले की धुन में, कला में... फिर उनसे निकले विचार आलोकित करने वाले होते है ! उनके लिए गणित मानवता और ब्रह्माण्ड के सत्य को अभिव्यक्त करने का तरीका है. वो प्रिंसटन विश्वविद्यालय में संगीत का गणित, संस्कृत छंदों का गणित और जादुई कलाकारियों के गणित का एक कोर्स पढ़ाते हैं जिसमें वो तबला भी बजाते हैं. अगर इस तरीके से गणित पढ़ाया जाने लगे तो भला किसे गणित में आनंद नहीं आएगा। वो कहते हैं - “जब मैं संस्कृत की कविताएँ पढ़ रहा था तब मुझे नहीं पता था कि मैं उनमें मुख्य धारा का गणित भी पढ़ रहा हूँ। बाद में गणित पढ़ते हुए उन्हें फिर से एक नए नाम और नए तरीके से पढ़ना मुझे आह्लादित करता। ऐसी चीजों में मुझे आनंद आता है जब विभिन्न विषयों की अनपेक्षित एकात्मकता देखने को मिलती है!”. </span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">मंजुल भार्गव एक अद्भुत, समृद्ध और विलक्षण परंपरा के वाहक हैं... कामना है आने वाले समय में मंजुल भार्गव ऐसे ही गणित के अद्भुत सिद्धांत देते रहे !</span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
<b style="font-weight: normal;">~Abhishek Ojha~</b><br />
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">---</span></div>
<b style="font-weight: normal;"><br /></b>
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<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">इस ब्लॉग पर कई पोस्ट हैं जो इस पोस्ट की बातों से जुडी हुई हैं - पुरानी </span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">पोस्टें</span><span style="font-family: Arial; font-size: 15px; line-height: 1.15; white-space: pre-wrap;"> ज्यादा जुडी हुई है :)</span></div>
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">शुद्ध गणित - </span><a href="http://baatein.aojha.in/search/label/Pure%20Mathematics" style="text-decoration: none;"><span style="background-color: transparent; color: #1155cc; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">http://baatein.aojha.in/search/label/Pure%20Mathematics</span></a><span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;"> </span></div>
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">गणित की खूबसूरती - </span><a href="http://baatein.aojha.in/search/label/Beauty%20in%20Mathematics" style="text-decoration: none;"><span style="background-color: transparent; color: #1155cc; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">http://baatein.aojha.in/search/label/Beauty%20in%20Mathematics</span></a></div>
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">सौंदर्य अनुपात: </span><a href="http://baatein.aojha.in/search/label/Golden%20Ratio" style="text-decoration: none;"><span style="background-color: transparent; color: #1155cc; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">http://baatein.aojha.in/search/label/Golden%20Ratio</span></a></div>
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt;">
<span style="background-color: transparent; color: black; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: none; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">फ़र्मैट का आखिरी प्रमेय: </span><a href="http://baatein.aojha.in/search/label/Fermat%27s%20Last%20Theorem" style="text-decoration: none;"><span style="background-color: transparent; color: #1155cc; font-family: Arial; font-size: 15px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; text-decoration: underline; vertical-align: baseline; white-space: pre-wrap;">http://baatein.aojha.in/search/label/Fermat%27s%20Last%20Theorem</span></a></div>
<br /></div>
Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com8tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-66119537824074891922013-03-29T06:13:00.001+05:302013-03-29T06:13:25.322+05:30अपूर्णमिदं !<p>पूजा की <a href="http://laharein.blogspot.com/2013/03/blog-post_25.html" target="_blank">पोस्ट</a> पढ़ते हुए ये लाइन मिली - <em>I am jigsaw puzzle of collective memories, the key piece of which has been lost with mummy, forever. For all they try, no one can assemble me with all the pieces in their right place. And so I remain, a confused jumble of faces, tears, smiles, people, lost and found, roads, rain, school, college, teachers, friends...</em></p> <p>मुझे ये पढ़ते हुए <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del's_incompleteness_theorems" target="_blank">इन्कम्प्लीटनेस थियोरम</a> की याद आई और मेरे उस <a href="http://uwaach.aojha.in/2011/12/blog-post.html" target="_blank">'लभ लेटर'</a> की ये लाइन -</p> <p><em>"फिलहाल इंकम्पलिटनेस थियोरम की तरह जिंदगी है। उस जिगसा पज़ल की तरह जिसका एक टुकड़ा खो गया है। कैसे भी सुलझाऊँ बिन उस टुकड़े के अधूरा ही रहेगा। तुम्हें पता है वो टुकड़ा क्या है? - तुम हो वो टुकड़ा !"</em> </p> <p>टिप्पणी-प्रतिटिप्पणी के बीच पूजा ने कहा -<em>incompleteness theorem की सविस्तार व्याख्या करें, उदहारण के साथ :O</em></p> <p>तो हम वो समझाने जा रहे हैं जो लोग सही से ज्यादा गलत समझ लेते हैं। जैसा किसी भी 'अच्छे' सिद्धांत के साथ होता है। अक्सर लोग अपने हिसाब से इन्कम्प्लीटनेस थियोरम का मतलब निकाल लेते हैं- लिखते लिखते हम भी निकाल ही लेंगे ! तो बिन पढ़े मेरी समझ को कहीं भी अपने रिक्स पर इस्तेमाल करें। हाँ रिक्स ही कहा रिस्क नहीं :)</p> <p>हर औपचारिक गणितीय प्रणाली एक सोच का नतीजा होती है। विशुद्ध सोच-तर्क और कुछ नहीं ! पूरी प्रणाली कुछ स्वयंसिद्ध मान लिए गए सिद्धांतों (Axiom) पर आधारित होती है। इन स्वयंसिद्ध कथनो पर कोई सवाल नहीं उठाता, उन्हें सच मान लेते हैं बिन कुछ पूछे - स्वयंसिद्ध - अंतर्ज्ञान, आत्मा की आवाज की तरह। जैसे "किसी भी दो बिंदु को मिलकर एक रेखा बनायीं जा सकती है"। ये स्वयंसिद्ध है। हर गणितीय प्रणाली ऐसे स्वयंसिद्ध नियमों और तर्क से मिलकर ही बनती है। इनके अलावा बाहर का कुछ भी इस प्रणाली में नहीं आ सकता। इनके अलावा जो भी हो उसे सिद्ध करना पड़ता है। इनके अलावा बिना सिद्ध किये कुछ भी मान्य नहीं होता।</p> <p>गणित की भाषा में प्रणाली के <strong>पूर्ण (complete)</strong> का मतलब - किसी भी कथन को सही या गलत साबित करने की क्षमता। और <strong>संगत (consistent)</strong> का मतलब - कोई भी कथन ऐसा न हो जो सही और गलत दोनों सिद्ध हो जाए !</p> <p>अब कायदे से हर गणितीय प्रणाली को पूर्ण होना चाहिए। अर्थात केवल वही कथन जो सत्य है उन्हें ही साबित होना चाहिए। कोई विरोधाभास नहीं होना चाहिए। और हर कथन को सही या गलत साबित करने की क्षमता भी होनी चाहिए। पर <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del" target="_blank">गोडेल</a> ने अपूर्णता प्रमेय में कहा कि .... ऐसी प्रणाली की सीमाएं हैं ! उनका पहला प्रमेय ये कहता है (मोटे तौर पर) - अंकगणित के लिए किसी भी औपचारिक गणितीय प्रणाली, जो विराधोभासो से परे हो, में ऐसे कथन होंगे जिन्हें उस प्रणाली के अंतर्गत ना तो सत्य सिद्ध किया जा सकता है ना असत्य ! अर्थात अपूर्ण। गोडेल ने कहा कि हम किसी भी प्रणाली में नए स्वयंसिद्ध जोड़कर ऐसे कथनों को सत्य या असत्य की श्रेणी में रख सकते हैं। अर्थात जो सही या गलत न पता चले वैसे कथनो को दोनों में से एक मान लें तो गणितीय प्रणाली तो पूर्ण हो जाएगी -  पर ऐसा करने से फिर कुछ नए कथन बन जायेंगे जो फिर से ना सत्य ही रहेंगे ना असत्य। अर्थात अपूर्णता से निजात नहीं !</p> <p>एक तरह से गोडेल ने कहा कि एक साथ <em><strong>सत्य और सर्वव्यापी</strong></em> प्रणाली नहीं हो सकती। बिन कुछ झूठ कहे हम हर सत्य को नहीं कह सकते या हमेशा कुछ ऐसा सत्य बचा रह जाएगा जिसे हम साबित नहीं कर सकते - हर कथन को साबित करना संभव नहीं ! <em>कुछ न कुछ बचा रह जाना है। जिगसा पज़ल के एक मिसिंग टुकड़े की तरह।</em> हम जैसे भी मिलाते जाएँ… एक टुकड़े के बिन पूर्ण आकृति नहीं बन सकती। दूसरा प्रमेय कहता है कि प्रणाली खुद अपनी असंगति सिद्ध नहीं कर सकती। पर हम बात पहले की ही करते हैं।</p> <p>नियम और स्वयंसिद्धों से हमेशा कुछ कथन असिद्ध/अज्ञात (सत्य हैं या असत्य) रह जायेंगे। और अगर प्रणाली के बाहर से नए नियम और स्वयंसिद्ध कथन ले आयें तो? तो भी नए असिद्ध कथन बनते जायेंगे। कहने का मतलब अपूर्णता रहनी ही है। अर्थात हर प्रणाली में हम जितना भी जान पाते हैं उससे कहीं ज्यादा सत्य कथन होते ही हैं।</p> <p>इस प्रमेय से जैसे ये कहा जाता है कि कंप्यूटर कभी इंसानों जैसे नहीं हो सकते क्यूंकि वो हमेशा एक नियत नियम और स्वयंसिद्ध कथनों पर आधारित होते हैं। जबकि हमारा दिमाग नहीं... इसलिए हम अनजाने, अप्रत्याशित सत्यों से रूबरू होते रहते हैं। दार्शनिक वैसे इस प्रमेय को इंसानी दिमाग पर भी लगाते हैं और कहते हैं कि हर एक तार्किक प्रणाली की तरह ही एक इंसान भी अपने आपको कभी पुर्णतः नहीं समझ सकता क्योंकि हम खुद के बारे में खुद की ही प्रणाली से ही तो जानते हैं। और हर प्रणाली ही अपने खुद की असंगति को सिद्ध नहीं कर सकती ! [हरी ॐ तत्सत् ! <img class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" style="border-top-style: none; border-left-style: none; border-bottom-style: none; border-right-style: none" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHdhGsP33_esKiG5Fg1wYP1G43T9KmoGnVtposqVr8hTyne5jb_GFIFMD9DMrtYkkd77byOgv_5j3ShSsayb-Rv7RH1IQM77UNi6Stew9MjMihTZ1L28VTRwwrxQd0vUxYUKK_feRZmfM/?imgmax=800" /> क्या क्या तो मस्त सोच गए हैं लोग !]</p> <p>यहाँ ध्यान देने की बात है कि गोडेल ने ये नहीं कहना चाहा कि जो है वो गलत या बेकार है। गोडेल ने कहा कोई भी प्रणाली पूर्ण नहीं है। मेकेनिकल तरीके से नियम कितने भी तार्किक हो कुछ कमी तो रहनी ही है। और हमें गणित में (और अन्यत्र भी) अंतर्ज्ञान और निरंतर खोज को जारी रखना चाहिए। नियमों और तर्क पर आधारित प्रणाली एक मशीन ब ना सकती है... कम्प्युटर, सैटेलाइट, रॉकेट इत्यादि। विशालकाय सिस्टम जिसमें सब कुछ तार्किक हो... पर इंसान का इंट्यूशन, उसका अंतर्ज्ञान हमेशा होना चाहिए... क्योंकि सिस्टम में एक अपूर्णता रहनी ही है। [और हम कहते हैं कि किसी ने कह दिया या किसी ने लिख दिया तो वो सत्य है ! फ्लैक्सिब्ल होने के लिए 'वादियों' को गणित पढ़ना चाहिए :)]</p> <p>अगर आपने कभी कंप्यूटर प्रोग्राम लिखा है तो आपको पता होगा इनफिनिट लूप क्या होता है। इसे हाल्टिंग प्रॉब्लम भी कहते हैं। गलती से ऐसा हो जाता है कि प्रोग्राम चलता ही रह जाता है हमेशा के लिए। सवाल ये है कि क्या ऐसा कोई तरीका हो सकता है जिससे पता लगाया जासके कि कोई प्रोग्राम ऐसे लूप में फँसेगा या नहीं? उत्तर – “नहीं” !  - अपूर्णता प्रमेय !</p> <p>उसी तरीके से कोई ऐसा प्रोग्राम नहीं हो सकता जो कंप्यूटर के ऑपरेटिंग सिस्टम को छेड़े बिन वायरस का पता लगा सके। अर्थात प्रणाली के बाहर का लाना ही पड़ेगा - अपूर्णता !</p> <p>यानी हमेशा ऐसे सच होंगे जो सिद्ध नहीं किये जा सकते या कुछ असत्य सत्य सिद्ध हो जायेंगे। और दूसरा प्रमेय ये कहता है कि अगर कोई प्रणाली अपने सिद्धांतो से स्वयं को संगत सिद्ध करती है तो वो प्रणाली ही असंगत है !</p> <p>हमने फेसबूक पर लिखा था - </p> <p><em>There will *always* be more true things than what we can know and prove... <br />... and there will *always* be things that, despite being true, cannot be proven to be true. (-incompleteness theorem)</em></p> <p><em>…so its not strange if We know something is truth but we can't prove it and vice versa!</em> </p> <p>हरी ॐ तत्सत् ! <img class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" style="border-top-style: none; border-left-style: none; border-bottom-style: none; border-right-style: none" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHdhGsP33_esKiG5Fg1wYP1G43T9KmoGnVtposqVr8hTyne5jb_GFIFMD9DMrtYkkd77byOgv_5j3ShSsayb-Rv7RH1IQM77UNi6Stew9MjMihTZ1L28VTRwwrxQd0vUxYUKK_feRZmfM/?imgmax=800" /></p> <p>--</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com9tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-41826141698629455272013-03-08T11:23:00.000+05:302013-03-08T11:23:00.814+05:30... do what you must, come what may. (भाग 2)<p>(<a href="http://baatein.aojha.in/2013/03/do-what-you-must-come-what-may-1.html" target="_blank">पिछले भाग से जारी</a>)</p> <p>सोनिया, व्लादिमीर और अनिउता पहले विएना गए पर एक तो विएना महंगा बहुत था और दूसरे सोनिया को वहाँ के विश्वविद्यालयों के गणित का स्तर भी पसंद नहीं आया। अनिउता वहाँ से फ़्रांस चली गयी जहां उसने बाद में राजनीतिक गतिविधियों में हिस्सेदारी निभाई। सोनिया और व्लादिमीर कुछ दिनों बाद इंग्लैंड चले गए। व्लादिमीर जीवाश्मिकी का छात्र था वहाँ उसे <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Darwin" target="_blank">चार्ल्स डार्विन</a> और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Henry_Huxley" target="_blank">थॉमस हक्सले</a> के साथ काम करने का मौका मिला। सोनिया यहाँ लेखिका <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/George_Eliot" target="_blank">जॉर्ज ईलियट</a> के संपर्क में आई। पर उसका सपना पूरा हुआ जब वो जर्मनी गयी जहां उसे हिडेलबर्ग विश्वविद्यालय में गणित और भौतिकी के व्याख्यानों में बैठने की अनुमति मिल गयी। यहाँ सोनिया की ख़्वाहिश थी <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Bunsen" target="_blank">रॉबर्ट बुंसेन</a> (बुंसेन बर्नर वाले) के मार्गदर्शन में पढ़ने की। रोबर्ट बुंसेन औरतों की पढ़ाई के सख्त खिलाफ थे। उन्होने कह रखा था की कोई भी महिला उनकी प्रयोगशाला में काम नहीं कर सकती। पर <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Sofia_Kovalevskaya">सोनिया कोवलेव्सकी</a> पहली महिला थी जिसे उन्होने अपने प्रयोगशाला में काम करने की अनुमति दी। </p> <p>सोनिया इसके बाद विख्यात गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass" target="_blank">कार्ल विस्ट्रास</a> के मार्गदर्शन की आस में बर्लिन गयी। विस्ट्रास के लिए भी किसी महिला का गणितज्ञ होना असहज था। सोनिया को टालने के लिए उन्होने कुछ कठिनतम प्रश्न हल दे दिया इस शर्त के साथ कि अगर सोनिया ने उन प्रश्नो को हल किया तो वो उसे मार्गदर्शन देने को सहमत हों जाएँगे। कुछ दिनों बाद सोनिया ने जिस प्रभावी तरीके से  उन प्रश्नों पर किया गया अपना काम विस्ट्रास को दिखाया तो विस्ट्रास ने निजी मार्ग दर्शन देना स्वीकार कर लिया। ये सोनिया के गणितीय अध्ययन के सबसे अच्छे दिन रहे। 1874 में 24 वर्ष की अवस्था में सोनिया ने  <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation" target="_blank">पर्शियल डिफ़ेरेन्शियल समीकरण</a>, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Rings_of_Saturn" target="_blank">शनि के वलय</a> और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral" target="_blank">एलिप्टिक इंटीग्रल</a> पर तीन शोधपत्र <a href="http://www.uni-goettingen.de/en/1.html" target="_blank">गोटिंगेन विश्वविद्यालय</a> में डोक्ट्रेट की उपाधि के लिए प्रस्तुत किया। विस्ट्रास के सहयोग और पत्रों की गुणवत्ता को देखते हुए बिन कक्षाओं में गए और बिना किसी परीक्षा के गोटिंगेन विश्वविद्यालय ने सोनिया को डोक्ट्रेट की उपाधि प्रदान की।  ये उपाधि प्राप्त करने वाली वो यूरोप की पहली महिला थी। </p> <p>इनमें से पर्शियल डिफ़ेरेन्शियल समीकरण पर किये गये उनके काम का एक हिस्सा अब <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Kovalevski_theorem" target="_blank">कौशी-कोवलेव्सकी थियोरम</a> के नाम से जाना जाता है। </p> <p>महिला होने कि वजह से विस्ट्रास की मदद के बावजूद सोनिया को कहीं अध्यापन का काम नहीं मिल पाया। गरीबी और फिर शेयर धांधली के आरोप के भय से व्लादिमीर की आत्म हत्या जैसे बुरे दिनों का अंत 1884 में हुआ जब सोनिया को स्वीडन के स्टॉकहोम विश्वविद्यालय में प्रोफेसर की नौकरी मिली। यहाँ सोनिया को बहुत से पुरस्कार और सम्मान भी मिले। 1888 में सोनिया ने "द प्रॉबलम ऑफ द रोटेशन ऑफ अ सॉलिड बॉडी अबाउट अ फ़िक्स्ड पॉइंट" के नाम से एक शोधपत्र पेरिस अकादमी ऑफ साइंस में पृक्स बोरडीन पुरस्कार के लिए जमा किया। ये पुरस्कार गणित में मौलिक काम के लिए दिया जाना वाला सबसे बड़ा पुरस्कार माना जाता था। इस पत्र में वर्णित एक सिद्धान्त को अब <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kovalevskaya_Top" target="_blank">कोवलेव्सकी टॉप</a> के नाम से जाना जाता है। </p> <p>पुरस्कार में कोई भेदभाव न हो इसलिए अकादमी ने पूरी तरह से बेनामी पत्र मंगाए थे। हर पत्र पर एक पहचान के लिए कुछ पंक्तियाँ लिखनी थी। और साथ ही एक अलग सील किए गए लिफाफे में अपना नाम और वही पंक्ति लिखनी थी। उस साल ये पुरस्कार <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Sofia_Kovalevskaya">सोनिया कोवलेव्सकी</a> को मिला... उन्होने अपने पत्र पर ये पंक्तियाँ लिखी थी - </p> <p>"Say what you know, <br />Do what you must, <br />Come what may."</p> <p>--</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>(<a href="http://www.amazon.com/Mathematicians-Are-People-Too-Stories/dp/0866515097">Mathematicians are people, too</a> और थोड़ी इधर उधर से पढ़ी गयी जानकारी पर आधारित)</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-86053882909899993092013-03-03T09:21:00.001+05:302013-03-03T09:21:37.862+05:30... do what you must, come what may. (भाग 1)<p>घर की रंगाई-पुताई करते हुए रंग का कम पड़ जाना आम बात है... फिर एक पुराने किले सी विशाल विशालकाय हवेली में रह रहे रूसी शाही सेना से सेवा निवृत्त जनरल क्रुक्वोस्की  द्वारा  कमरों की दीवारों पर लगाने के लिए खरीदे गए चित्र कम पड़ गये तो ये कोई आश्चर्यजनक घटना नहीं थी। पर ये छोटी सी घटना नींव बनी... यूरोप की पहली महिला डोक्ट्रेट, पहली प्रोफेसर और गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Sofia_Kovalevskaya" target="_blank">सोनिया कोवलेव्सकी</a> के गणितज्ञ बनने की। </p> <p>जनरल क्रुक्वोस्की के ससुर गणितज्ञ थे और उन्हें प्रभावित करने के लिए जनरल ने कभी कैलकुलस सीखना चाहा था और उसके लिए चित्राकार कैलकुलस के नोट्स खरीदे थे। जब दीवारों पर लगाने के लिए चित्र कम पड़ गए तो उन्होने एक कमरे में उन अनछुए  नोट्स को ही लगा दिया। ये कमरा था 1850 में जन्मी जनरल की दूसरी बेटी सोनिया का। दस ग्यारह साल की उम्र में उसे वो नोट्स पढ़कर क्रम में सजाना अच्छा लगता था। कैलकुलस से उसका यह पहला परिचय था। सोनिया और उसके भाई बहनों की पढ़ाई घर में ही निजी शिक्षको द्वारा होती थी। उसके एक शिक्षक ने उसके लिखे एक नाटक से प्रभावित होकर कहा था कि सोनिया एक दिन प्रसिद्ध लेखक बनेगी। इन्हीं दिनों सोनिया ने अपने चाचा को बताया कि उसे गणित में रुचि है और वो उसके कमरों में लगे चित्रो में से बहुत कुछ समझती है। उसके चाचा ने कहा कि शिक्षक चाहे जो कहें उसे वही करना चाहिए जो उसका दिल कहता हो। पर अगर उसे गणित पढ़ने का मन है तो उसे समस्याओं से लड़ने के लिए भी तैयार रहना चाहिए। उन्होने ये भी बताया कि ऐसा करने पर उसे रूस से बाहर जाना पड़ेगा क्योंकि उन दिनों रूस में लड़कियों के लिए उच्च गणित पढ़ना संभव नहीं था। पीटर चाचा ने ये भी कहा कि आत्म संतुष्टि के लिए ऐसे संघर्ष करने में आनंद ही मिलता है ! चाचा के प्रोत्साहन के बाद सोनिया ने त्रिकोणमिती, भौतिकी और जीव विज्ञान की पुस्तकें मंगा कर खुद से पढ़ाई की। </p> <p>जब सोनिया अठारह साल की हुई तब क्रुक्वोस्की परिवार बच्चों की उच्च शिक्षा के लिए सेंट पीटर्सबर्ग आ गया। वहाँ जब सोनिया कैलकुलस की कक्षा में गई तो उसे एहसास हुआ कि उन चित्रों को सजाने के क्रम में जो कुछ उसने समझा था वो उन कक्षाओं में पढ़ाये जा रहे कैलकुलस से कहीं ज्यादा था। पर रूस में उन दिनों  विश्वविद्यालयों में लड़कियों को नामांकन नहीं मिलता था। आगे पढ़ने का बस एक ही तरीका था रूस से बाहर जाना। पर उस समय के सामाजिक मान्यताओं के हिसाब से अकेली लड़की बिना किसी पुरुष के विदेश कैसे जाती !... इस समस्या के लिए  सोनिया ने अपनी बड़ी बहन अनिउता को एक झूठी शादी के लिए मनाया। योजना ये थी कि अनिउता व्लादिमीर कोवलेव्सकी से शादी कर जर्मनी जाएगी और सोनिया भी उनके साथ चली जाएगी। और जर्मनी जाने के बाद वो दोनों वहाँ व्लादिमीर से अलग हो जाएंगी। व्लादिमीर इस योजना के लिए तैयार हो गया पर उसने शर्त रखी कि वो शादी सोनिया से करेगा। बड़ी बहन के रहते छोटी की शादी के लिए जनरल क्रुक्वोस्की कभी राजी नहीं होते.</p> <p> सोनिया ने अपने पिता एक झूठी चिट्ठी लिखी कि मैं व्लादिमीर के साथ भाग रही हूँ... चिट्ठी पढ़ कर जनरल साहब इज्जत बचाने के लिए भागे-भागे व्लादिमीर के घर गए और उन्होने शादी के लिया हाँ कह दिया !   (...जारी) </p> <p>--</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>(<a href="http://www.amazon.com/Mathematicians-Are-People-Too-Stories/dp/0866515097" target="_blank">Mathematicians are people, too</a> और थोड़ी इधर उधर से पढ़ी गयी जानकारी पर आधारित)</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-90120624513748609252012-07-22T08:49:00.001+05:302012-07-22T08:49:45.737+05:30गणितीय कला के कुछ शानदार नमूने<p><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_and_art" target="_blank">गणित और कला</a> का पुराना नाता है। वैदिक यज्ञों में बनने वाली वेदियों और हवन कुंडों से लेकर  पिरामिड तक। पुराने से पुराने कला के नमूनों में गणितीय अनुपात देखे जा सकते हैं।  </p> <p>इससे पहले इस ब्लॉग पर <a href="http://baatein.aojha.in/search/label/Golden%20Ratio" target="_blank">सुनहरा अनुपात</a> (गोल्डेन रेशियो/सौंदर्य अनुपात), <a href="http://baatein.aojha.in/2008/10/blog-post_27.html" target="_blank">फ्रैक्टल</a>, और <a href="http://baatein.aojha.in/2009/07/blog-post.html" target="_blank">एक गणितीय नेकलेस</a> जैसी कुछ पोस्ट में ऐसी कलाओं का जिक्र मैंने किया था । पर पिछले दिनों <a href="http://gallery.bridgesmathart.org/" target="_blank">ब्रिजेस गणितीय कला</a> का लिंक मिला। यहाँ पर आप कुछ आधुनिक गणितीय कला के शानदार नमूने देख सकते हैं। </p> <p>पिछले कुछ प्रदर्शनियों की <a href="http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions" target="_blank">कलाकृतियाँ</a> और 2012 के <a href="http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2012-Bridges-Conference" target="_blank">कोन्फ्रेंस</a> में दिखाई जाने वाली कलाकृतियाँ भी। </p> <p><a href="http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2011-joint-mathematics-meetings/sequin" target="_blank"><img style="display: inline; float: right" align="right" src="http://gallery.bridgesmathart.org/sites/default/files/styles/large/public/sequin/jmm-2011/TorusKnot_5-3.jpg" width="236" height="236" /></a></p> <p>एक से बढ़कर एक ! जैसे ये दो नमूने देखिये। ये बर्कली स्थित कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के कम्प्युटर साइंस के प्रोफेसर कार्लो सेक्वेन की कलाकृति है। </p> <p>नीचे वाली कलाकृति बैरी सिप्रा की है। इनकी कलाकृति <a href="http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2012-bridges-conference/bcipra" target="_blank">'लूपी लव'</a> <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip" target="_blank">मोबियस स्ट्रिप</a> पर लिखी गयी एक लघु प्रेम कहानी है। मोबियस स्ट्रिप की ये खासियत होती है कि उसकी सतह एक ही होती है। अर्थात आप जहां से चलें वहीं वापस आ जाते हैं... अर्थात जिस पन्ने से बनाया जाय उस असली पन्ने का दोनों हिस्सा तय कर लेते हैं - बिना कभी पन्ना पलटे !</p> <p><img style="display: block; float: none; margin-left: auto; margin-right: auto" src="http://gallery.bridgesmathart.org/sites/default/files/styles/large/public/bridges2012/bcipra/loopylove.jpg" width="345" height="260" /></p> <p>'लूपी लव' के बारे में <a href="http://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2012-bridges-conference/bcipra" target="_blank">पढ़िये</a>: पाठक आसानी से उस पर लिखी कहानी बिना कभी पन्ना पलटे पढ़ सकते हैं। देखने वाले इसे उठा कर इससे खेल सकते हैं और शुरू से अंत तक कहानी पढ़ सकते हैं – बस ना कोई शुरुआत है न कोई अंत ! </p> <p>बाकी कला दीर्घा आप लिंक पर देख कर आइये। रोचक है। </p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com11tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-84720246631784407232012-07-12T01:16:00.001+05:302012-07-12T06:18:42.479+05:30सुनना ड्रम की आकृति को<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
वो गाना तो आपने सुना ही होगा जिसमें आँखों की महकती खुशबू को देखना और फिर हाथ से छूना जैसी बात होती है. किसी चीज के आकर प्रकार को सुनना भी कुछ ऐसी ही बात लगती है.<br />
<br />
सवाल कुछ ऐसा है कि जो भी ध्वनि हम अपने कानों से सुनते हैं क्या हम उससे, आवाज के स्रोत का आकर-प्रकार पता लगा सकते हैं? मान लीजिये हम अपनी आँखें बंद कर लें और किसी से आस पास रखी चीजों को बजाने के लिए कहें. तो क्या हम बता सकते हैं कि आवाज किस चीज से आ रही है ! शायद हाँ. पर हमने उन चीजों को देखा होता है !<br />
<br />
पर अगर अनजान चीजों को बजाएं तो भी क्या हमें पता चल सकता है?<br />
<br />
क्या आकृति के हिसाब से उनसे निकलने वाली आवाज अद्वितीय होती है. ? अगर हाँ. तो आवाज सुनकर वस्तुओं की आकृति भी बताई जा सकती है. !<br />
<br />
गणितीय रूप में इस सवाल को गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Mark_Kac" target="_blank">मार्क कैक</a> ने १९६६ में लिखा. क्या आवाज की तरंग/स्पेक्ट्रम की व्याख्या कर हम उन ड्रमों की आकृति बता सकते हैं जिनसे वो आवाज आ रही है ! अर्थात क्या ध्वनि तरंगों की व्याख्या से वस्तुओं की ज्यामिति का पता लगाया जा सकता है? <br />
साधारण शब्दों में कहें तो उन्होंने एक फलन (फंक्शन) परिभाषित किया वस्तुओं की ज्यामिति से ध्वनि तरंगों में. और फिर सवाल ये हुआ कि क्या एक ही ध्वनि तरंग के लिए अलग-अलग ज्यामिति के हल हो सकते हैं ? <br />
<br />
गणितीय हल से निकला कि हाँ ऐसा संभव है. अर्थात एक ही ध्वनि तरंग के लिए अलग अलग ज्यामिति संभव है ! पहला हल सोलह डाइमेंशन की ज्यामिति का था. पर... बाद में बाकी डाइमेंशन के हल भी मिल गए. और ये पता चला कि किसी भी एक ध्वनि तरंग के लिए वस्तुओं की ज्यामिति अद्वितीय नहीं होती. अर्थात विभिन्न आकर की वस्तुओं से एक जैसी ध्वनि तरंगे निकल सकती हैं. <br />
<br />
इस अध्ययन के क्रम में ये भी पता चला कि ड्रम की पूर्ण आकृति तो नहीं पर थोडा-बहुत पता तो लगाया जा ही सकता है. ! <br />
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अगर आपको गणित आती हो तो गणितीय रूप और मार्क कैक का असली पेपर आप <a href="http://www.entretemps.asso.fr/maths/kac.pdf" target="_blank">यहाँ </a>देख सकते हैं.<br />
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~Abhishek Ojha~</div>Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-84495923414656943252012-07-05T08:11:00.001+05:302012-07-05T08:26:38.006+05:30कितने सिग्मा का भरोसा ?<p><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_boson" target="_blank">हिग्स बॉसन</a> के आविष्कार के खबर में एक पंक्ति ये भी है कि इस खोज का विश्वास स्तर या कांफिडेंस लेवल ५ सिग्मा का है। क्या है ये विश्वास स्तर? </p> <p>सांख्यिकी में विश्वास स्तर को स्टैंडर्ड डेविएशन (मानक विचलन) की इकाई में नापा जाता है। जिसे ग्रीक अक्षर सिग्मा से लिखा जाता है। सिग्मा अर्थात मानक विचलन अर्थात आंकड़ों में विभिन्नता का माप। एक आंकड़ें में दिये गए अंक अपने औसत से कितने दूर या पास है। </p> <p>कोई भी परिणाम कितना भरोसे का है उसके लिए अक्सर सांख्यिकी के विश्वास स्तर के सिद्धान्त का इस्तेमाल किया जाता है। समाजशास्त्र, भौतिकी, अभियांत्रिकी, आयुर्विज्ञान, वित्तीय अभियांत्रिकी जैसे लगभग हर क्षेत्र में इस सिद्धान्त का इस्तेमाल होता है। </p> <p><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution" target="_blank">समान्य वितरण या नॉर्मल डिस्ट्रिब्यूशन या बेल कर्व</a> (घंटी के आकार का वक्र होने के कारण इसे बेल कर्व भी कहते हैं) सांख्यिकी का सबसे प्रसिद्ध वितरण है। इस वितरण में अधिकतर आंकड़े औसत के करीब ही होते हैं और जैसे जैसे हम औसत से दूर होते जाते हैं आंकड़ों की संख्या तेजी से कम होती जाती है। वास्तविक जीवन में ऐसे वितरण अक्सर देखने को मिलते है जैसे किसी क्लास में अधिकतर बच्चे औसत के करीब अंक लाते हैं। बहुत ज्यादा और बहुत कम अंक लाने वाले छात्र हमेशा ही कम होते हैं। वैसे ही किसी कार्यालय में बहुत ज्यादा काम करने वाले और बहुत कम काम करने वाले भी कम होते हैं ज़्यादातर औसत ही होते हैं। लोगों की ऊंचाई पर भी ये वितरण काम करता है इत्यादि! </p> <p>समान्य वितरण के हिसाब से औसत के 1 सिग्मा की दूरी के अंदर ही 68.27<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/68-95-99.7_rule" target="_blank"><img style="margin: 5px 0px 5px 5px; display: inline; float: right" alt="File:Standard deviation diagram.svg" align="right" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Standard_deviation_diagram.svg/400px-Standard_deviation_diagram.svg.png" width="202" height="104" /></a> प्रतिशत आंकड़े आ जाते हैं। 2 सिग्मा के अंदर 95.45 प्रतिशत, 3 सिग्मा के अंदर 99.73... इसी तरह 5 सिग्मा के अंदर 99.9999426696856 प्रतिशत। अर्थात समान्य वितरण में कुछ 5 सिग्मा से बाहर हो इसके होने की संभवना बहुत कम हो जाती है। लाखों में एक होने की तर्ज पर - 3,488,555 में एक।  </p> <p>पर किसी वितरण के समान्य वितरण जैसा होने का मतलब ये कभी नहीं होता कि वो समान्य वितरण ही हो। जैसे प्रकृति में अक्सर 10-12 सिग्मा से बाहर की घंटनाएँ भी होती रहती हैं। जैसे - सुनामी ! शेयर बाजार में भी इस वितरण का बहुत इस्तेमाल होता है पर अक्टूबर 1987 के शेयर बाजार की गिरावट 36 सिग्मा से बाहर होने की घटना थी ! समान्य वितरण के हिसाब से - लगभग असंभव !  कहने का मतलब ये कि इस वितरण को इस्तेमाल करने से पहले इसके सही अर्थ को समझना भी बहुत जरूरी है। <em>लगभग असंभव और लगभग समान्य</em>... दोनों में ही 'लगभग' शब्द बहुत महत्त्वपूर्ण है। </p> <p>इस घोषणा में 5 सिग्मा भरोसा होने का अर्थ ये है कि इन परिणामो के एक अनायास ही संयोग होने की संभावना 3,488,555 में 1 होने जैसी है ! (पर शून्य नहीं<img style="border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-top-style: none; border-right-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJiQ5f9QiJ5EvHiXqOr439jbUQAQOVQoQLsTD_am9SAAngDX9T4-5i_VizpY3K-k2ogjVbnRvNAwLzWQ1AGyHJnARAtGKl0RqNUIEe8AWXez5iBjuC9qQlpghmL7zwtVkFEoNIHvZS61o/?imgmax=800" />)</p> <p> </p> <p>इससे पहले केवल 2.5 सिग्मा का भरोसा होने से इसे खोज का नाम नहीं दिया जा सका था। </p> <p>--</p> <p>ये सिद्धान्त कहीं भी लागू हो सकता है। अभी खयाल आया कि 36-40 सिग्मा  से बाहर वाली खूबसूरती वाला पैराग्राफ <a href="http://uwaach.aojha.in/2011/12/blog-post.html" target="_blank">गणितीय प्रेम पत्र</a> में भी जोड़ा जा सकता था। <img style="border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-top-style: none; border-right-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJiQ5f9QiJ5EvHiXqOr439jbUQAQOVQoQLsTD_am9SAAngDX9T4-5i_VizpY3K-k2ogjVbnRvNAwLzWQ1AGyHJnARAtGKl0RqNUIEe8AWXez5iBjuC9qQlpghmL7zwtVkFEoNIHvZS61o/?imgmax=800" /></p> <p>--</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com12tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-84729145280904041082012-02-27T04:57:00.001+05:302012-02-27T04:57:46.350+05:30अनंत<p>अनंत एक अंक नहीं बल्कि एक प्रक्रिया है... एक सोच है... वो जो हर बड़े से बड़ा हो... फिर कैसे परिभाषित करें इसे? कई बातें शायद मानव सोच के बाहर होती हैं... एक ये भी है !</p> <p>कुछ गणितज्ञों ने इसे... अति सूक्ष्म (इंफानाइटेसिमल ) का उल्टा कहा। छोटे से छोटा होते हुए जब शून्य पर पहुंचे तो उसका उलट अनंत ! लेकिन इस परिभाषा का भी कोई मतलब नहीं... शून्य 'एक' अंक है... अनंत नहीं। कैंटर ने जब कहा की अनंत एक ही नहीं होता तो अनंत इस परिभाषा के दायरे से भी बाहर हो गया। </p> <p>कैंटर ने कार्डिनलिटी, यानि किसी समुच्चय में कितने सदस्य हैं, के सिद्धान्त का इस्तेमाल कर कहा कि अगर किसी समुच्चय में से उसके कुछ सदस्य निकाल दिये जाएँ और बचे हुए समुच्चय तथा मूल समुच्चय की कार्डिनलिटी समान हो, तो ऐसे समुच्चय के सदस्यों की संख्या अनंत होती है। अर्थात बालटी  में से एक लोटा पानी निकाल लें और फिर भी बालटी में उतना ही जल शेष बचे जितना पहले था तो इसका मतलब हुआ कि बालटी में अनंत जल है !</p> <p>जैसे सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में से केवल सम संख्याएँ निकाल कर एक नया समुच्चय बनाया जाय तो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय और सम संख्याओं के समुच्चय के सदस्यों की संख्या समान ही होगी। दोनों समुच्चयों में एक-एक की बराबरी है।  1, 2, 3,... –> 2, 4, 6,... जितने सदस्य पहले में उतने ही दूसरे में, जबकि दूसरा समुच्चय खुद पहले का उप-समुच्चय भी है। अर्थात उसके सारे सदस्य पहले के सदस्य भी हैं ! इससे पहले सम (विषम) सख्याओं की संख्या वाले अनंत को प्राकृतिक संख्या वाले अनंत से छोटा अनंत भी कुछ लोग मानते थे। लेकिन एकैक फलन से कैंटर ने परिभाषित किया कि प्रकृतिक सख्याओं वाले अनंत अर्थात गिनती कर अनंत तक पंहुचने वाले अनंत और परिमेय संख्याओं के समुच्चय वाले अनंत भी एक ही है। क्योंकि प्रकृतिक संख्याओं और परिमेय संख्याओं में भी एक-एक का रिश्ता (फलन) निकाला जा सकता है। लेकिन फिर जब अपरिमेय संख्याओं पर बात आई तो कैंटर ने कहा कि ये अनंत प्रकृतिक संख्याओं के अनंत से बड़ा होता है ! </p> <p>कैंटर ने अनंतों के लिए एक अलग गणित और नियम बनाया... लेकिन इन दो अनंतों के बीच में भी क्या कोई अनंत होता है? इस सवाल का उत्तर बाद में ये मिला कि <em>'न तो इसे सही साबित ही किया जा सकता है ना ही गलत</em>"। </p> <p>अनंत के बारे में एक और बात... अगर हम किसी भी चीज में कुछ जोड़ते रहें अर्थात उसे बढ़ाते रहें तो अनंत तक पँहुच जाएँगे ये जरूरी नहीं ! वैसे ही जैसे रोज बस कुछ पढ़ने से हम विद्वान हो जाएँ ये जरूरी नहीं<img style="border-bottom-style: none; border-left-style: none; border-top-style: none; border-right-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-openmouthedsmile" alt="Open-mouthed smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1IQ54wBsTO0rDjp4ESEg8HCUSVSPOcQfe4ZHMcMA_MXjXHjd-CRhJ7-ZmAD9fIdyGSvqGYEOClpYtuEwW_XkxCls11gfmGiu_gaGwsP9MrpvhLs_uXcJinu4-JjZjWVHtZINufPilR_g/?imgmax=800" /> जैसे हम एक 1 में आधा जोड़ दें, फिर 1 चौथाई, फिर 1 का आठवाँ हिस्सा.... इस तरह हम जीवन भर जोड़ते रह जाएँ तो भी योग 2 से अधिक कभी नहीं हो पाएगा ! ये गणित में लिमिट का सिद्धान्त है। </p> <p>फिजिक्स में कई बार जब समीकरण अर्थहीन हो जाते हैं और सिद्धान्त काम करने बंद कर देते हैं... परिणाम अनंत आने लगते हैं तो उसे सिंगुलारिटी कहते हैं। जहां पर जाकर मानव सोच और उसके सिद्धान्त काम करना बंद कर दे... ! </p> <p>अनंत पर एक और रोचक बात एक बिन्दु की लंबाई शून्य नहीं होती वरन एक बिन्दु कि कोई लंबाई ही नहीं होती....  अर्थात एक सेमी हो या एक किलोमीटर या यहाँ से चाँद की दूरी सभी में समान बिन्दु होंगे - अनंत । यही नहीं अगर हम एक डाइमेनशन से ऊपर बढ़े तो भी अनंत बिन्दु होंगे... ! </p> <p>हरी अनंत हरी कथा अनंता... और .... ॐ पूर्णमद: पूर्णमिदं पूर्णात् पूर्णमुदच्यते। <br />पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते। </p> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com15tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-39530639351145940432011-10-25T13:24:00.000+05:302011-10-25T13:24:00.612+05:30जीनियस, राजनीति, प्यार और ट्रेजडी ! (भाग २)<p><a href="http://baatein.aojha.in/2011/10/blog-post.html" target="_blank">भाग १</a></p> <p>इसी दौरान गैल्वा पर एक बड़ी विपत्ति तब आई जब उसके पिता ने आत्म हत्या कर ली. किसी पादरी ने उसके परिवार के खिलाफ कुछ आपत्तीजनक कागजात जनता में बंटवा दिया. जिसके बाद उसके पिता ने आत्म हत्या कर ली. जब गैल्वा अपने पिता की अंतिम यात्रा में शामिल होने के लिए आये उस समय सडको पर दंगे की सी स्थिति थी. इस घटना के बाद गैल्वा के दिमाग में एक बात घर कर गयी - ‘संसार में कहीं भी न्याय नहीं है !’ </p> <p>इस बीच शिक्षक बनने का ख्याल भी गैल्वा के दिमाग में आया पर उसके शिक्षकों ने गणित और भौतिकी में अच्छे अंक आने के बावजूद साहित्य में कम अंक आने पर टिपण्णी लिखी कि ‘इसे कुछ नहीं आता, कम मेधा का ये विद्यार्थी कभी शिक्षक नहीं हो सकता !’ </p> <p>इकोल पोलिटेक्निक की जगह अक्टूबर १८२९ में गैल्वा ने <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89cole_Normale_Sup%C3%A9rieure" target="_blank">इकोल नोर्मले सुपिरियेर</a> में दाखिला लिया लेकिन विद्यालय के प्रशासकों से राजनीतिक मतभेद के चलते उन्हें ‘अस्वीकार्य व्यवहार’ का बहाना लेकर दिसम्बर १८३० में निष्कासित कर दिया गया. </p> <p><b></b></p> <p>१९ वर्ष की आयु में बीजगणितीय समीकरणों पर गैल्वा ने उस समय तक के गणितीय सिद्धांतों से आगे काम करते हुए नए सिद्धांतों पर तीन नए शोध पत्र तैयार किये और उन पत्रों को फ़्रांस की अकादमी में उच्चतम पुरस्कार के लिए जमा किया. उन अद्भुत पत्रों और उनके रचयिता गैल्वा के साथ एक बार फिर बिडम्बना हुई. अकादमी के सचिव तक इस बार पत्र तो पँहुचे जिसे वो समीक्षा करने के लिए अपने घर तक भी ले गया लेकिन समीक्षा करने के पहले ही वो सचिव चल बसा ! गैल्वा के मन में संसार में अन्याय होने की भावना बढती गयी और वो रिपब्लिकन पार्टी में शामिल हो गया जो उस समय तक प्रतिबंधित कर दी गयी थी. जब उसने १८३० की क्रांति में भाग लेना चाहा तो विद्यालय के निदेशक ने उन्हें विद्यालय में ही कैद करवा दिया. इसके बाद गैल्वा ने विद्यालयों की पत्रिका गजेट दे एकोल्स में एक पत्र लिखा जिसके कारण ही उन्हें विद्यालय से निष्कासित किया गया था. </p> <p>गैल्वा ने गणित पढाने की कोशिश भी की. पर वो अपने विचार ही पढाने लग जाते... नतीजा वही... विद्यार्थी मिले नहीं... जो मिले वो भी कुछ ही दिनों में भाग गए. गैल्वा ने अपने समीकरणों के सिद्धांत पर शोधपत्र छपवाने का आखिरी प्रयास <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" target="_blank">पोसोन</a> के कहने पर किया. लेकिन उसके बाद उसने अपने आपको पूरी तरह राजनीति और क्रांति को समर्पित कर दिया. इन्हीं द्दिनो गैल्वा ने लिखा ‘अगर जनता को आन्दोलित करने के लिए एक लाश चाहिए तो मैं अपना शारीर दान कर दूँगा !’ </p> <p>१८३१ में रिपब्लिकनों के एक सम्मलेन में वो राजशाही के खिलाफ बोला और रातों रात प्रसिद्द हो गया. लेकिन राजनीति में ये बात फ़ैल गयी कि गैल्वा ने उस सम्मलेन में राजा की जान लेने का संकल्प लिया है और अगले ही दिन उसे गिरफ्तार कर लिया गया. वकील ने ‘नरो वा कुंजरो’ नीति का सहारा लिया और कहा कि गैल्वा ने उस सम्मलेन में कहा था कि ‘मैं इस राजा की जान ले लूँगा अगर वो देशद्रोही हो जाता है’. वकील ने कहा कि शोर में बाद का हिस्सा सिपाही नहीं सुन पाए थे. गैल्वा ने इस बात को मानने से इनकार कर दिया... लेकिन फिर भी न्यायधीश ने उन्हें रिहा कर दिया. </p> <p>पर अगले ही महीने उन्हें फिर सावधानी बरतने के नाम पर गिरफ्तार कर लिया गया. उस समय वो उस सेना की वर्दी पहने हुए थे जो प्रतिबंधित की जा चुकी थी और इस कारण से उन्हें तीन की जगह ६ महीने की सजा हो गयी. १८३२ के हैजा प्रकोप के समय उन्हें जेल से अस्पताल में स्थान्तरित कर दिया गया. ‘महत्त्वपूर्ण राजनितिक बंदी’ की श्रेणी में होने के कारण उन्हें यहाँ कोई दिक्कत तो नहीं होती थी. लेकिन किस्मत में कुछ और लिखा था...</p> <p>इसी दौरान गैल्वा को पहली मुहब्बत हुई... जेल में कैदियों से मिलने वालों में एक हसीना भी थी. जिससे गैल्वा को प्यार हो गया. कई लोग मानते हैं कि वो उनके एक राजनितिक दोस्त की गर्लफ्रेंड थी. पर इस पर एकमत नहीं है. कुछ लोग उसे डॉक्टर की बेटी बताते हैं. इस मामले में भी उन्हें असफलता ही नसीब हुई और गैल्वा का दुनिया से भरोसा ही उठ गया. २५ मई १८३२ को उन्होंने ये बात अपने एक दोस्त को पत्र में लिखा था. ये प्यार गैल्वा के त्रस्त और उपेक्षित जीवन का आखिरी झटका साबित हुआ। </p> <p>प्यार में मिले धोखे से निराश और दुखी पत्र लिखने के चार दिन बाद २९ मई को वो आराम और ध्यान करने के विचार से जेल से रिहा हुए थे. लेकिन इन चार दिनों के दौरान क्या हुआ किसी को ठीक-ठीक नहीं पता ! इसके बाद के मिले २-३ चिट्ठियों में गैल्वा ने बस इतना कहा कि उन्हें दो अन्य देशभक्तों से <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Duel" target="_blank">द्वंद्व (डुएल)</a> की चुनौती मिली है जिसे वो मना नहीं कर सकते॰  गैल्वा की जीवनी लिखने वालों में से अधिकतर इसे प्यार वाले किस्से से जोडते हैं लेकिन कई इसे सिर्फ राजनीति से ही जोडते हैं. कुछ लोग इसे राजशाही द्वारा उनके खिलाफ किया गया षड्यंत्र भी मानते हैं. </p> <p>गैल्वा को इस द्वंद्व में अपनी मौत का पूर्ण विश्वास हो गया था और उन्होंने अपने मित्र को लिखे एक पत्र में लिखा: <em>‘मुझे दो देशभक्तों ने द्वंद्व की चुनौती दी है – इसे अस्वीकार करना मेरे लिए असंभव था. मैं तुम दोनों से माफ़ी चाहता हूँ कि मैंने तुम्हे इसके बारे में पहले नहीं बताया. लेकिन मेरे विरोधीयों ने मेरे सम्मान को ललकार कर कहा था कि मैं किसी और देशभक्त को इसके बारे में ना बताऊँ. मेरे बाद तुम्हारा काम बहुत आसान है: ये साबित करना कि मैंने खुद नहीं चाहते हुए भी लड़ाई की... हर तरह की कोशिश करने के बाद त्रस्त होकर... मेरी यादों को बचा कर रखना क्योंकि भाग्य ने मुझे इतनी जिंदगी नहीं दी कि मेरा देश मेरा नाम जान सके. मैं मरता हूँ. तुम्हारा मित्र – इ. गैल्वास</em> </p> <p>इस पत्र को लिखने के बाद गैल्वा ने एक रात भर में अपने गणितीय सोच को कागज पर उतारने का फैसला किया. उन्हें पता था कि उनके पास बस आज की ही रात बची है। थोड़ी-थोड़ी देर बाद वो हाशिए पर लिखते जाते ‘मेरे पास समय नहीं है’. और कई बार बस अपनी सोच की रुपरेखा ही लिखते चले गए. ये एक रात का लिखा गणितीय खाका आने वाले समय में सदियों तक गणितज्ञों को व्यस्त रखेगा ये भला उनको कम मेधा का असामान्य विद्यार्थी कहने वाले शिक्षक कैसे सोच सकते थे ! उस रात ग्रुप्स और समीकरणों पर दिए गए उनके सिद्धांत विलक्षण और उच्च कोटि के थे (हैं). उन्होने उस रात कुल ६५ पन्ने लिखे। </p> <p>१४ साल बाद लूविले ने उनके लिखे ६५ पन्नों को सम्पादित किया. </p> <p>गैल्वा ने अपनी वसीयत अपने मित्र औगास्ते शेवेलियर को लिखी जिसमें उन्होंने लिखा था ‘मेरे दोस्त, मैंने गणितीय विश्लेषण में कुछ नए आविष्कार किये हैं. <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi" target="_blank">जैकोबी</a> और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" target="_blank">गॉस</a> से सार्वजनिक रूप से इस पर प्रतिक्रिया देने को कहना. उनसे ये मत पूछना कि ये सही हैं या नहीं बल्कि ये कि ये कितने महत्तवपूर्ण हैं ! मैं आशा करता हूँ कि बाद में कभी कुछ लोग ऐसे भी होंगे जिन्हें इस झंझट(मेस) को पढ़ना और सुलझाना उपयोगी लगेगा’। कौशी का नाम उन्होने पत्र में कहीं नहीं लिखा। उन्होने किसी अन्य फ्रेंच गणितज्ञ का नाम भी नहीं लिखा। जैकोबी और गॉस दोनों जर्मन थे। </p> <p>२९ मई १८३२ को रात भर अपने विचार लिखने के बाद ३० मई को सुबह द्वंद्व हुआ. कुछ लोगों को एक खेत में अकेले असहाय घायल अवस्था में गोली लगे गैल्वा मिले जिन्हें वहाँ से अस्पताल ले जाया गया. जहाँ उनकी मौत ३१ मई को हुई. उन्होंने मरते समय पादरी की सहायता लेने से मना कर दिया और अपने छोटे भाई से कहा ‘रो मत, मुझे २० वर्ष की उम्र में मरने के लिए बहुत हिम्मत चाहिए.’ </p> <p>उनके बारे में खूब लिखा गया है. लेकिन सिर्फ २० वर्ष की जिंदगी से बहुत दस्तावेज या जानकारी नहीं मिलती. ज्यादातर लेखक उनके जीवन के रोमांटिक किस्से को बहुत बढ़ा चढा कर लिखते हैं. जबकि उनके पत्रों से ज्यादा राजनीतिक पक्ष सामने आता है. </p> <p>गणित की दृष्टि से गैल्वा ने इस कम उम्र में ही अद्भुत काम किये. अब्स्ट्रेक्ट <a href="http://lh3.ggpht.com/-dbdPpdMLCqQ/Tp_UGY2CQbI/AAAAAAAAEDI/DKbOTfx9pT0/s1600-h/image%25255B2%25255D.png"><img style="background-image: none; border-bottom: 0px; border-left: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; float: right; border-top: 0px; border-right: 0px; padding-top: 0px" title="image" border="0" alt="image" align="right" src="http://lh4.ggpht.com/-8piT8rKk_pA/Tp_UHVI7NPI/AAAAAAAAEDQ/rchEkeBghmg/image_thumb.png?imgmax=800" width="190" height="244" /></a>अलजेब्रा के लिए उनके विचार क्रन्तिकारी थे. उन्नीसवीं सदी के अंत में जब फिल्ड के सिद्धांत का विकास हुआ तो पता चला कि इनमे से ज्यादातर बातें गैल्वा ने अपने पहले पत्र में ही कह दी थी. ग्रुप्स के सिद्धांत का भी विकास उन्ही के विचारों से हुआ. उनके लिखे पत्रों और बाद के कुछ शोधपत्रों को मिलाकर गणित में एक नयी विचारधारा का जन्म हुआ. समीकरणों का सिद्धांत, ग्रुप सिद्धांत, फाइनाईट फिल्ड और उनके नाम पर पड़ा <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory" target="_blank">गैल्वास सिद्धांत</a> उनके गणित में महत्त्वपूर्ण योगदान हैं. </p> <p>मरने के कुछ दिन पहले उन्होंने कहा था ‘कुछ लोग अच्छा करने के लिए धरती पर आते हैं लेकिन उसका अनुभव करने के लिए नहीं रह पाते. मैं भी शायद उनमें से एक हूँ!’.</p> <p>गैल्वा को सार्वकालिक महानतम गणितज्ञों में गिना जाता है। आज उनका दो सौवां जन्मदिन है !</p> <p>मैंने ये सब इन जगहों पर पढ़ा: </p> <p>१॰ <a href="http://www.amazon.com/Men-Mathematics-Touchstone-Books-Bell/dp/0671628186" target="_blank">मेन ऑफ मैथेमेटिक्स</a> </p> <p>२. <a href="http://www.amazon.com/Men-Numbers-Story-Great-Mathematicians/dp/0486289737" target="_blank">ऑफ मेन एंड नम्बर्स</a> </p> <p>३. <a href="http://www.amazon.com/Princeton-Companion-Mathematics-Timothy-Gowers/dp/0691118809" target="_blank">प्रिंसटन कम्पेनियन टू मैथेमेटिक्स</a></p> <p>चित्र:विकिपीडिया से</p> <p>~Abhishek Ojha~</p>Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-91726286230925910152011-10-20T13:01:00.001+05:302011-10-20T13:01:27.231+05:30जीनियस, राजनीति, प्यार और ट्रेजडी !<p>जिसकी पूरी जिंदगी ही बीस साल की हो उसके जीवन पर बहुत कुछ कहने को क्या होगा? लेकिन कुछ ऐसे भी लोग होते हैं जिनकी जिंदगी के एक दिन पर ग्रन्थ लिख दिए जाते हैं फिर बीस साल तो बहुत होते हैं ! ऐसी ही एक शख्सियत थे <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois" target="_blank">एवारिस्ट गैल्वा</a> ! </p> <p>गाँव के मुखिया, आजादी के दीवाने और बुद्धिजीवी पिता तथा बिना तर्क धर्म को ना मानने वाली धार्मिक माँ के पुत्र गैल्वा का जन्म २५ अक्टूबर १८११ को फ़्रांस में हुआ था. गाँव के मुखिया के रूप में गैल्वा के पिता गाँव वालों को हमेशा पादरियों से बचाते थे. इस कारण पादरियों से हमेशा ही उनकी अनबन रही॰ १२ साल की उम्र तक इस बालक के दिन बहुत अच्छे गुजरे॰ उसकी पढाई घर पर ही हुई इस दौरान कभी-कभी वो अपने पिता के भाषण भी लिखा करता. प्रारंभिक शिक्षा अपनी माँ से ही मिली और इसका बालक पर गहरा असर पड़ा. घर के वातावरण ने भी उसे तार्किक और निरंकुशता का विरोधी बनाया॰ </p> <p>१२ साल की उम्र में पेरिस के प्रतिष्ठित <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Lyc%C3%A9e_Louis-le-Grand" target="_blank">लाइसी-लुई-ले-ग्रांड</a> स्कूल में दाखिले के साथ ही गैल्वा के बुरे दिनों की शुरुआत हो गयी. लाइसी-ले-ग्रांड एक विद्यालय से अधिक जेल था. कठोर अनुसाशन और एक खास तरीके से ही पढाई करने के रूढ़िवादी तरीके वाले इस विद्यालय में कोई भी गैल्वा की प्रतिभा को कभी समझ ही नहीं पाया. ये समय फ़्रांस की राजनीति में भी उथल पुथल का युग था और राजनीति में भाग लेने के कारण समय-समय पर विद्यालय से बच्चे निकाले जाते रहे पर गैल्वा का ये दुर्भाग्य ही था कि उसका नाम ऐसी किसी सूची में कभी नहीं आ पाया. और वो विद्यालय में उपेक्षित होता रहा।</p> <p>लाइसी-ले-ग्रांड में मुख्य रूप से ग्रीक और लैटिन पढाए जाते थे. इन विषयों में अच्छा नहीं कर पाने के कारण गैल्वा को नीचे की कक्षा में भेज दिया गया. इसी दौरान बोरियत से दूर होने के लिए गैल्वा ने गणित पढ़ना चालु किया. उस समय गणित सिर्फ एक वैकल्पिक विषय के रूप में पढाया जाता था और उसे अहमियत नहीं दी जाती थी. इन्हीं दिनों गैल्वा के हाथ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre" target="_blank">लिजेंद्रे</a> की लिखी ज्यामिति की किताब लग गयी. ये किताब पढ़ने-पढाने में साधारणतया दो साल लगते थे और केवल प्रशिक्षित गणितज्ञ ही इस किताब को पढते थे. एक महान गणितज्ञ द्वारा लिखी गयी यह मौलिक गणित की किताब थी. पर उस बालक ने कुछ ही दिनों में उस पुस्तक को निपटा डाला ! उन्हीं दिनों उसके हाथ में एक बीजगणित की पाठ्यपुस्तक भी लगी पर गैल्वा ने ये कहते हुए उसे नहीं पढ़ा कि उस पुस्तक में ‘सिरजनहार का स्पर्श’ (क्रिएटर'स टच) वाली बात नहीं है. यह एक पाठ्य पुस्तक थी ज्यामिती की उस किताब की तरह एक विद्वान का लिखा मौलिक ग्रंथ नहीं था॰  बाद में <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange" target="_blank">लाग्रंजे</a> और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel" target="_blank">एबेल</a> के बीजगणितीय विश्लेषण की किताबों को गैल्वा ने पढ़ा. १४ वर्ष का यह बालक गणितीय उस्तादों की बातों में स्वाध्याय से ही निपुण हो गया. उसे एहसास भी हो गया कि वो खुद भी उन उस्तादों की तरह ही मौलिक सोच रखता है !</p> <p>गैल्वा ने गणित कभी कागज-कलम लेकर नहीं पढ़ा. वो हमेशा सबकुछ अपने दिमाग में ही करता और इस कारण वो हमेशा एक औसत विद्यार्थी ही बना रहा. बहुत सी चीजें उसके लिए जाहिर सी बात होती थी और वो उन्हें कभी लिखता नहीं था. कक्षा में कभी ध्यान नहीं देकर अपनी ही सोच में खोया रहने वाला गैल्वा गुस्सैल किस्म का बालक भी था॰ जब उसकी बातों को लोग नहीं समझते तो उसका गुस्सा और क्षोभ और बढ़ता गया. उसके शिक्षक बुरे नहीं थे पर गैल्वा जैसे विद्यार्थी को समझ पाने के लिए मुर्ख थे ! गैल्वा अपने आप पर गर्वित होता और सोचता कि मैं महान गणितज्ञों के बराबर हूँ. पर उसके शिक्षक उसके आकलन में हमेशा ही टिपण्णी करते कि ‘यह विद्यार्थी अजीब (स्ट्रेंज) है’ ! कुछ ने जरूर कहा कि इसमें गणितीय कौशल है. </p> <p>१६ वर्ष की आयु में उसने एक सवाल पर काम किया और एक गलत कल्पना की वजह से उसे लगा कि उसने उस सवाल को हल कर लिया है जिसे हल ही नहीं किया जा सकता. तब उसके शिक्षक वर्निअर ने उसे सलाह दी कि वो गणित व्यवस्थित तरीके से करे. लेकिन गैल्वा का ये तरीका आता ही नहीं था ! उसने फैसला किया कि वो <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89cole_Polytechnique" target="_blank">इकोल पोलिटेक्निक</a> में नामांकन लेगा जहां उसके प्रतिभा की सही पहचान  होगी. इकोल पोलिटेक्नीक फ़्रांस में उस समय गणित का सर्वश्रेष्ठ केन्द्र था. पर वो प्रवेश परीक्षा में फेल हो गया. वहाँ भी शिक्षक उसके कौशल को समझ नहीं पाए. कुछ वर्षों बाद नोवेल्स ऐनल्ज डे मैथेमेटिक्स में <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Olry_Terquem" target="_blank">टेरक्वेम</a> ने इस घटना को याद करते हुए लिखा कि ‘उस दिन एक निम्न कोटि के परीक्षक ने एक उच्च कोटि के परीक्षार्थी को अस्वीकार किया था’.</p> <p>१७ साल की अवस्था में गैल्वा का परिचय उच्च गणित के शिक्षक लुईस-पौल-एमिले-रिचर्ड नामक से हुआ. जिन्होंने पहली बार गैल्वा की प्रतिभा को थोडा बहुत समझा और उन्होंने कहा कि ये छात्र ‘फ़्रांस का एबेल है और इसका नाम इकोल पोलिटेक्निक में बिना किसी परीक्षा के लिखा जाना चाहिए’ ! उन्होंने गैल्वा को अपने विषय में प्रथम स्थान दिया और टिपण्णी में लिखा कि यह लड़का अपने बाकी सभी साथीयों से अधिक मेधावी है और उच्च गणित की समझ रखता है. गैल्वा ने इस प्रोत्साहन के बाद अपना पहला शोधपत्र १८२९ में छपने के लिए भेजा... अभी उसकी उम्र १८ वर्ष नहीं हुई थी. और और जीवन के २ वर्ष ही बचे थे। दुर्भाग्यवश उन दो वर्षों में भी केवल ट्रेजडी ही बची थी।  </p> <p>महान गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy" target="_blank">कौशी</a> उस समय फ़्रांस में गणित के एक स्तंभ की तरह थे. उस समय के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ ! दुर्भाग्य ही है कि उन्होंने एबेल और गैल्वा दोनों को ही नजरअंदाज किया. उन तक पंहुचा गैल्वा का शोधपत्र कहीं खो गया... शायद उनके कचरे के डब्बे में ! विद्यालय उसी तरह गैल्वा को उपेक्षित करता रहा और कमजोर-असामान्य विद्यार्थी होने की सजा देता रहा. </p> <p>गैल्वा ने एक बार फिर इकोल पोलिटेक्निक में प्रवेश लेने की कोशिश की और फिर से उसे असफलता ही हाथ लगी. अपने दिमाग में ही गणित हल करने वाले गैल्वा को ब्लैकबोर्ड, चाक और डस्टर का कोई उपयोग नहीं दिखा और ना ही वो सवालों का जवाब उस तरीके से दे पाया जैसा परीक्षक सुनना चाहता था. साक्षात्कार के बीच में ही एक बार फिर अपने आपको उपेक्षित होता और इकोल पोलिटेक्निक में पढ़ने की अपने जीवन की सबसे बड़ी आशा को विफल होता देख गैल्वा ने डस्टर का उपयोग आखिरकार किया और उसे चलाकर परीक्षक को दे मारा ! </p> <p>(जारी)</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com7tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-42328168329413969922011-09-26T15:09:00.001+05:302011-09-26T18:43:41.453+05:30पाई बनाम टाऊ ! - गणित के कठिन होने का एक कारण?<p>‘पाई गलत है !’</p> <p>- इस नाम का एक आलेख और ‘टाऊ मैनिफेस्टो’ नामक एक अन्य दस्तावेज इन्टरनेट पर पिछले कुछ महीने में बहुत लोकप्रिय हुए हैं। इनका कहना है कि पाई गलत है ! और उसकी जगह टाऊ का उपयोग होना चाहिए। </p> <p>टाऊ के समर्थकों का कहना है कि अगर पाई की जगह टाऊ इस्तेमाल करें तो गणित, भौतिकी इत्यादि में जहां कहीं भी पाई का इस्तेमाल होता है वो सब कुछ समझने में ज्यादा आसानी होगी और सब कुछ ज्यादा तर्कसंगत और इंट्यूटिव लगेगा। </p> <p>पाई जो सदियों से गणित का सबसे लोकप्रिय अंक और प्रतीक रहा है को इन दस्तावेजों में गलत करार दिया गया है. सबसे पहले आपको काम की ही बात बता दूँ यहाँ पाई गलत होना (Pi is wrong !) कहना थोड़ा भ्रामक है। वास्तव में ये भी यह नहीं कह रहे कि पाई गलत है - बल्कि यह कि <em>पाई अव्यवहारिक</em> है। वैसे ही जैसे अपनी नाक को पकड़ना हो तो हाथ को गर्दन के पीछे से घुमाकर भी यह काम किया जा सकता है पर जब आसानी से नाक पकड़ी जा सकती है तो इतना करने का क्या लाभ? टाऊ समर्थकों के अनुसार टाऊ गणित समझने को थोड़ा आसान बनाता है - पाई थोड़ा कठिन ! </p> <p>पाई का अर्थ होता है वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात। टाऊ का अर्थ है वृत्त की परिधि और त्रिज्या का अनुपात। अर्थात टाऊ हुआ पाई का दोगुना ! बस इतनी सी बात है - पाई की जगह टाऊ बट्टे दो लिख देना है। और टाऊ का मान पाई का दोगुना अर्थात ६.२८...। </p> <p>इससे गणित और साथ ही दूसरे किसी विज्ञान का कोई भी नियम नहीं बदलेगा। बस इतना होगा कि गणितीय सूत्र यथा नाम तथा गुण के थोडे करीब हो जाएँगे। और इस प्रकार गणित के नियम समझने में थोड़ी आसानी होगी। </p> <p>अभी अधिकतर सूत्रों में २*पाई लिखना पड़ता है। टाऊ का इस्तेमाल करने पर बार बार २ नहीं लिखना पड़ेगा। बात बस इतनी सी ही नहीं है - एक पूर्ण फेरे से बने कोण को अभी हम २*पाई कहते हैं, आधे को पाई और एक चौथाई को पाई बट्टे २ इत्यादि। अगर हम एक फेरे से बने कोण को टाऊ कहने लगें तो आधे के लिए टाऊ बट्टे २ और चौथाई के लिए टाऊ बट्टे ४ कहेंगे जो ज्यादा इंट्यूटिव है। अगर हम पाई की जगह टाऊ लिखने लगें तो आश्चर्यजनक रूप से इंट्यूटिव लगने के अलावा गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी के कई कठिन सूत्र भी आसान हो जाएँगे ! जैसे गणित का वो खूबसूरत समीकरण जिसकी चर्चा <a href="http://baatein.aojha.in/2011/06/blog-post.html" target="_blank">इस पोस्ट</a> में है वो कुछ यूं हो जाएगा... <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjroSqmD0OdOmZyrVnpJvcwK0v1B5drrRmAkqs0pmoO9Z8g8uNbiClzuVmlVArGA4oOYqr2lmHjUrNawCiAmrMk5Nvmi3z1ZuwEpLEyg1zPascoYTi46-RENXfb1onjd8XePRDCqSAMY1M/s1600-h/image%25255B2%25255D.png"><img style="background-image: none; border-bottom: 0px; border-left: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; float: right; border-top: 0px; border-right: 0px; padding-top: 0px" title="image" border="0" alt="image" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV-CHd9qUQrD7WvA6ejXXUpTu5djhFyZKyuAhusMBZR-izx6iAMaPpY-GscbRqpLdIsmkbS86BwYFe2hpa8lbSq9K8vDToRuM_J-MPG8XJiBobMIwxfpzif6kyMl_87c3K04p8BXIMMuQ/?imgmax=800" width="132" height="52" /></a></p> <p>इन दो दस्तावेजों में इसे बखूबी समझाया गया है। </p> <p>१॰ <a href="http://www.math.utah.edu/~palais/pi.pdf" target="_blank">पाई इज रोंग</a> </p> <p>२. <a href="http://tauday.com/tau-manifesto.pdf" target="_blank">टाऊ मैनिफेस्टो</a></p> <p>इन्हें नहीं पढ़ना हो तो कोई बात नहीं लेकिन ये वीडियो जरूर देखें। <a href="http://vihart.com/vi/" target="_blank">ये लड़की</a> गणित बहुत जल्दी में अच्छे से पढ़ाती है। ...असली 'क्यूट' मार्क देखकर ही गणित पढ़ना हो तो कुछ कुछ इसी टाईप का ही होगा :) </p> <iframe height="315" src="http://www.youtube.com/embed/jG7vhMMXagQ" frameborder="0" width="420" allowfullscreen="allowfullscreen"></iframe> <p>अंत में काम की बात: आगे से कभी बात चले तो कहिएगा कि गणितज्ञों ने ही उलटा पढ़ा दिया नहीं तो गणित तो सच में बहुत हल्का होता है। हमें तो बस पाई की जगह टाऊ पढ़ा दिया होता तो हम भी आज....!  बात बस इतनी सी थी और... </p> <p>वैसे इसके खिलाफ पाई समर्थकों ने भी <a href="http://www.thepimanifesto.com/" target="_blank">पाई का मैनिफेस्टो</a> बनाया है। और उधर जैसे ३/१४ (१४ मार्च) को पाई डे मनाया जाता है उसी तर्ज पर ६/२८ (२८ जून) को ताऊ डे मनाया जाने लगा है। आप पढ़ के आइये बहुत रोचक लिंक हैं।</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>इस पोस्ट को लिखवाने के लिए 'ब्रह्मांड निवासी - अन्तरिक्ष विचरईया' <a href="http://www.blogger.com/profile/02400609284791502799" target="_blank">आशीषजी</a> का शुक्रिया। </p> <p>इस ब्लॉग के पोस्ट पर (इरिसपेक्टिव ऑफ अपडेट फ्रेक्वेंसि ऐंड क्वालिटी ऑफ पोस्ट) जरूर प्रतिक्रिया देने वाले डॉ अमर कुमार को ये ब्लॉग हमेशा बहुत मिस करता रहेगा। और इस बहाने उनसे होने वाली बातचीत को मैं :( </p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com14tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-26795311116250607982011-06-12T06:07:00.001+05:302011-06-12T06:10:48.420+05:30एक ख़ूबसूरत समीकरण<p>बचपन में गणित की कक्षाओं में पढ़ाया जाता है <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Square_(algebra)">वर्ग</a> और <strong><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root">वर्गमूल</a></strong>. वर्ग अर्थात किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा कर दिया जाय तो वर्ग निकल आता है. फिर पढ़ाया जाता है <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Power_(mathematics)">घात</a> अर्थात किसी संख्या के ऊपर जितने का घात हो संख्या को खुद के साथ उतनी बार गुणा. फिर वर्गमूल, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Cube_root">घनमूल</a> इत्यादि. साथ में ये बताया जाता है कि वर्गमूल केवल धनात्मक संख्याओं का ही होता है. इन्हीं दिनों ज्यामिति में परिचय होता है वृत्त के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Circumference">परिधि</a>, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Radius">त्रिज्या</a> से होते हुए <strong><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pi">‘पाई’</a></strong> नामक संख्या से भी. पाई किसी भी वृत्त के परिधि और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Diameter">व्यास</a> के अनुपात से प्राप्त संख्या को कहते हैं. फिर थोडा और आगे बढ़ने पर <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm">लघुगणक</a> (लॉगरिदम) पढ़ते हुए परिचय होता है एक और संख्या <strong><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)">‘इ’</a></strong> से. (वैसे शायद इस संख्या से पहला परिचय <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus">कैलकुलस</a> पढते हुए होता है). पाई और ई गणित ही नहीं विज्ञान और अभियांत्रिकी की हर शाखा में खूब इस्तेमाल किये जाने वाले अंक हैं. गणितीय शब्दावली में दोनों <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number">अपरिमेय</a> और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number">ट्रान्सेंडैंटल</a> हैं. दशमलव के रूप में लिखा जाय तो दोनों अनंत तक जाते हैं…</p> <p>फिर गणित पढते हुए एक दिन एक <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit">काल्पनिक संख्या आई</a> से परिचय होता है. और इस संख्या से एक अलग अध्याय चालु होता है <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number">मिश्रित संख्याओं</a> का. इन्हीं दिनों ये पता चलता है कि बचपन में पढ़ी गयी बात ‘वर्गमूल केवल धनात्मक संख्याओं का ही होता है’ उन्ही लोगों के लिए पढाई जाती हैं जिन्हें गणित बस जोड़-घटाव तक ही पढ़ना होता है. और -१ के वर्गमूल जिसे ‘आई’ भी कहते हैं के साथ एक नयी काल्पनिक दुनिया का आरम्भ होता है. ये काल्पनिकता भी खूब इस्तेमाल होती है. <em>पाई, इ और आई संभवतः विज्ञान और अभियांत्रिकी के सबसे अधिक लिखे जाने वाले गणितीय अंक चिह्न अंक हैं.</em> </p> <p>इन तीनों अंको के साथ अगर जोड़-घटाव,गुणा-भाग आता हो तो इस समीकरण में<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5qQf3wmAeFf3mtkla-8Cmie6uZpqwk6M8iNrH4cZjL4fKIvsIXeCJXjpFHCs4W7CW7mOsUjZ1OpTelo7AcL8V4aRW8-weORDeuIm-EdNNo_6XoU8HexHCL0WJ1-dtbjiqCh9yDvtLpeQ/s1600-h/euler%252527s%252520equation%25255B6%25255D.jpg"><img style="background-image: none; border-right-width: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; float: right; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px; padding-top: 0px" title="euler's equation" border="0" alt="euler's equation" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNq_v0R47qFDSlrav1KbioQUOxh7DBhaGPRIQoi0W7YPwbk41MHw9J0u1UkK3_RmmiPQ9iF2bHrpLk3rvW60M8P2GZ41hFX4jYjYEc3sIcElfAv985KuGPvLh51Oc_l71HNAOkqm6KyzY/?imgmax=800" width="244" height="146" /></a> इसके अलावा कुछ और नहीं है. लेकिन इस समीकरण का मतलब क्या है? महान गणितज्ञ ओय्लर का दिया गया <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity">ये समीकरण</a> गणित का सबसे खूबसूरत समीकरण कहा जाता है. (समीकरण चित्र में)</p> <p><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity#Mathematical_beauty">विकिपीडिया क एक पैराग्राफ</a> कुछ यूँ कहता है इस समीकरण के बारे में: <em></em> <hr /></p> <a href="http://www.springerlink.com/content/0343-6993">मैथेमेटिकल इंटेलीजेंसर</a> पत्रिका के पाठकों के बीच कराये गए मत के अनुसार ओय्लर का तादात्मय ‘<em>गणित का सबसे खूबसूरत प्रमेय’</em> है. इसी तरह <a href="http://physicsworld.com/">फिजिक्स वर्ल्ड</a> पत्रिका के पाठकों ने भी २००४ में इसे <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations">मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकत्व के समीकरण</a> के साथ <em>‘सर्वकालिक महानतम समीकरण’</em> चुना. २००६ में न्यू हम्प्शायर विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफ़ेसर पॉल नहीन ने इस समीकरण  पर ४०० पन्नों की ‘<em>डॉ. ओय्लर'स फैबुलस फोर्मुला’</em> नामक किताब लिखी. इस पुस्तक में उन्होंने इसे ‘<em>गणितीय सुंदरता का सुनहरा मानक’</em> होने की संज्ञा दी. <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Constance_Reid">कोंसटेंस रीड</a> ने इसे <em>‘सम्पूर्ण गणित का सबसे प्रसिद्द सूत्र’</em> कहा. कहते हैं एक बार <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss">गणितज्ञ गॉस</a> ने टिपण्णी की कि अगर ये सूत्र किसी गणित के छात्र को बताते ही अगर स्पष्ट रूप से समझ में ना आये तो वो छात्र कभी उत्कृष्ट गणितज्ञ नहीं बन सकता. उन्नीसवीं सदी के विख्यात दार्शिनिक, गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफ़ेसर <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Benjamin_Peirce">बेंजामिन पियर्स</a> ने एक व्याख्यान में इसे साबित करने के बाद कहा: ‘<em>ये पूर्णतया विरोधाभासी है, हम इसे समझ नहीं सकते, हमें नहीं पता कि इसका अर्थ क्या है लेकिन चूँकि हमने इसे सिद्ध किया है तो हम जानते हैं कि ये सच है</em>.’ स्टैंफर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Keith_Devlin">प्रो कीथ डेवलिन</a> ने कहा ‘<em>जैसे शेक्सपियर की एक लंबी कविता प्रेम के असली तत्व को कैद करती है, जैसे एक चित्रकार गहरी मानवीय सुंदरता को उकेरता है वैसे ही ओय्लर का समीकरण अस्तित्व  की गहराई तक पंहुचता है</em>’. [ये पूरा पैराग्राफ विकिपीडिया के एक पैराग्राफ का अनुवाद है. बुरे अनुवाद के लिये हमारी तरफ से ‘सॉरी’ रहेगा.] <hr /> <p>एक अंक जो दशमलव में लिखने पर अनंत तक जाता है वो वृत्त के परिधि और व्यास से आया. साथ में एक वैसी ही अजीबो गरीब संख्या ‘इ’. ‘आई’ जो कि काल्पनिक है. और ओय्लर ने कहा कि ‘इ’ पर अगर ‘आई’ और ‘पाई’ के गुणनफल का घात लगा दें तो वो -१ हो जाएगा ! इतने अजीबो गरीब मिलन का इतना साधारण परिणाम ‘१’. </p> <p>सबसे पहले तो हमने यही पढ़ा होता है कि किसी भी धनात्मक संख्या पर अगर किसी धनात्मक या ऋणात्मक संख्या का घात लगाएं तो परिणाम ऋणात्मक नहीं होता. अगर साधारण तरीके से सोचें तो एक काल्पनिक संख्या और ‘पाई’ के गुणनफल का कुछ अर्थ हो सकता है क्या? फिर ‘इ’ और उसके ऊपर ये विकट काल्पनिक घात. अगर बचपन की पढ़ी बात से समझें तो ‘इ’ को ‘इ’ से ही गुणा करना है, लेकिन कितनी बार? ‘एक काल्पनिक संख्या से गुणा किये हुए अनंत तक जाने वाली संख्या के गुणनफल के बराबर?’ ! विचित्र ! और इस विकटता का हल अत्यंत ही साधारण याने -१. (अगर e(x) का विस्तार और त्रिकोणमिति के sin(x) और cos(x) के विस्तार पता हों तो इसका प्रमाण भी ऐसा ही साधारण होता है.) </p> <p>विकटता के मिश्रण से उपजी सरलता इस समीकरण को खूबसूरत बना देती है. मुझे अपने एक पुराने <a href="http://uwaach.aojha.in/2008/09/blog-post_22.html">मॉडर्न आर्ट</a> पर लिखे गए पोस्ट की याद आ रही है. अगर आपने यहाँ तक पढ़ा है तो इस समीकरण पर बने कुछ कार्टून भी देखते जाएँ. मैं क्या कहूँ. अपने <a href="http://www.blogger.com/profile/12838561353574058176">काजल कुमार जी</a> बेहतर व्याख्या कर पायेंगे कार्टूनी सुंदरता. <hr /><a href="http://spikedmath.com/389.html"><img style="background-image: none; border-right-width: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px; padding-top: 0px" title="389-beauty" border="0" alt="389-beauty" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicf37UFRtWY5F0Sx6Gatu28GS24cQIyFRSDvdAN-9YzkChyH99FZFaTz_F0teD0o2OAc-mVP1bNPmjITn6VTQ-uKtgsSHO_9EuiOhndpoL7cnBrV74uEfpRNRx588yd_X6sEkP-Wx-fdA/?imgmax=800" width="189" height="287" /></a><a href="http://xkcd.com/179/"><img style="background-image: none; border-right-width: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px; padding-top: 0px" title="e_to_the_pi_times_i" border="0" alt="e_to_the_pi_times_i" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGyH-DI7Nj190DHPZ0asE2XLQvcnjBPXivBywCI160KBmecA0FyYJPXfJNIe-uTxT0vmsSAKu_ppj5C4u_9P3STGsOw4tvT9xbMIyBttZBla_CdS7EUwCtM4-srxyJg1w9qWxYDzo8NH0/?imgmax=800" width="226" height="284" /></a> <hr />आई और पाई पर पर एक ये भी: </p> <p><a href="http://mightywombat.com/oldtoon.php?year=2007&id=297"><img style="background-image: none; border-right-width: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px; padding-top: 0px" title="numbers" border="0" alt="numbers" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja_b8xSS0zYrj3nMhTXZSwemYi0WH0g3NDnmtHOGyEf0BoVIjl-ldSwtoEFywek13ZDIp7E26TVB_HGV5wmwa-yipx_F9L_k34xHRvE34xG4DFOpJpckn1cSzuBGe27Sc0Hqw3YM8it0Y/?imgmax=800" width="240" height="240" /></a> </p> <hr /> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com25tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-46531216110101440872011-05-29T13:10:00.001+05:302011-05-29T13:18:09.777+05:30आंद्रे ब्लॉक: एक खतरनाक ज्ञानी<p> <br /><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan"><em>रामानुजन</em></a><em> के मार्गदर्शक और </em><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/G.H._Hardy"><em>जी एच हार्डी</em></a><em> के सहयोगी </em><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/J._E._Littlewood"><em>जे ई लिटिलवूड</em></a><em> ने एक बार कहा था: 'गणित एक खतरनाक पेशा है, और हम गणितज्ञों में से एक अच्छा ख़ासा हिस्सा  पागल हो जाता है'.</em> </p> <p><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Bloch_(mathematician)">आंद्रे ब्लाक (Andre bloch)</a> पिछली सदी के एक प्रसिद्द फ़्रांसिसी गणितज्ञ थे. मिश्रित फलन के सिद्धांतों (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis">complex function theory</a>) पर दिया गया उनका <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Bloch%27s_theorem_(complex_variables)">'ब्लॉक प्रमेय'</a> गणित के खूबसूरत प्रमेयों में आता है. आंद्रे ब्लॉक  के बारे में कई विरोधाभासी कहानियाँ प्रसिद्द हैं. उन्होंने कई प्रसिद्ध गणितज्ञों के साथ पत्राचार तो किया पर कभी किसी से मिले नहीं. कहते हैं <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya">जोर्ज पोल्या</a> ने जब उन्हें ज्यूरिक बुलाया तो उन्होंने ये कह दिया कि उनकी स्थिति ऐसी नहीं कि वो ज़्यूरिक आ सकें.  जब पोल्या उनके बताए पते पर पँहुचे तो पता चला कि वो एक पागलखाने का पता था. पोल्या उस पागलखाने  के दरवाजे से लौट आये. (वैसे बाद में पोल्या ने ऐसी किसी घटना के होने से इनकार किया.) एक और अजीब बात ये थी कि आंद्रे अपनी चिट्ठियों में दिनांक एक अप्रैल ही लिखते थे. </p> <p>यहूदी परिवार में घडीसाज पिता के पुत्र आंद्रे अपने छोटे भाई के साथ एक ही कक्षा में पढते थे. कहते हैं आंद्रे के भाई ने जहाँ अच्छे अंक प्राप्त किये वहीँ आंद्रे अपनी कक्षा में आखिरी स्थान पर आये. पर फ़्रांसिसी गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Ernest_Vessiot">अर्नेस्ट वेसीयट</a> द्वारा लिए गए मौखिक परीक्षा के उन्हें २० में से १९ अंक प्राप्त हुए और उन्हें <a href="http://www.polytechnique.edu/jsp/accueil.jsp?CODE=36392593&LANGUE=1">इकोल पोलीटेक्निक</a> में नामांकन मिल गया. एक साल के भीतर ही प्रथम विश्वयुद्ध के चलते दोनों भाइयों  को पढाई छोड कर सेना में भर्ती होना पड़ा. कुल मिलकर यहीं तक पढाई की आंद्रे ने. इसके बाद के ३१ साल का शेष जीवन पागलखाने में गुजारते हुए उन्होंने गणित पर अद्भुत शोध किये. द्वितीय विश्वयुद्ध के दौरान कुछ समय तक फ़्रांस का वो हिस्सा नाजी जर्मनी के कब्जे में था और इस दौरान आंद्रे ने अपनी यहूदी पहचान छुपाने के लिए छद्म नामों से भी शोध छपवाए. </p> <p>उनके पागलखाने तक पहुचने के कारणों पर भी मतभेद तो थे पर सभी मतभेदों में एक बात सामान थी और वो थी नृशंस हत्या ! </p> <p>कुछ लोगों का कहना था कि उन्होंने अपने मकान मालकिन और सास की हत्या इसलिए कर दी क्योंकि वो बहुत शोर करती थी और इससे उनके काम में बाधा पड़ती थी. कुछ ने ये कहा कि उन्होंने अपने भाई से ईर्ष्या के चलते उसकी हत्या कर दी. क्योंकि उनका भाई उस समय एक विद्यालय खोलने की योजना बना रहा था. कुछ ने  मंगेतर तो कुछ ने पत्नी की हत्या की बात की. कई लोगों ने धार्मिक बहस को इसका कारण माना. </p> <p>कुछ किस्सों के अनुसार विश्वयुद्ध से लौटे फौजी अफसर होने के नाते उनकी इज्जत थी और इसी बात के चलते हत्यारा होने पर भी उन्हें मानसिक रोगी बताकर उन्हें अस्पताल में भर्ती करा दिया गया. २४ वर्ष की उम्र से लेकर १९४८ में मृत्यु तक वो मानसिक अस्पताल में ही रहे. हत्या की इस घटना के अलावा आंद्रे को एक शांत और मिलनसार व्यक्ति के रूप में जाना जाता था. लेकिन जो व्यक्ति हत्या कर दे… अपने ही परिवार के कई लोगों का उसका मिलनसार और विद्वान  होना किस काम का ? ! </p> <p>कई कल्पित कथाओं के बाद कुछ शोध, चिट्ठियों और आंद्रे के सबसे छोटे भाई की लिखी किताब में बातें थोड़ी अलग हैं. उस हिसाब से आंद्रे युद्ध में घायल हो जाने के कारण कुछ दिन अस्पताल में बिताने के बाद सेना के लिए अक्षम घोषित होने के बाद घर लौटे थे और उनके भाई के सर में गोली लग गयी थी जिससे उनकी एक आँख भी चली गयी थी. फिर एक दिन खाना खाते समय आंद्रे ने अपने भाई, चाचा और चाची की हत्या कर दी. इसके बाद वो चिल्लाते हुए बाहर निकल गए और अपने आपको पुलिस के हवाले कर दिया. जहाँ से उन्हें मानसिक अस्पताल भेज दिया गया. </p> <p><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/French_Academy_of_Sciences">फ्रेंच अकादमी ऑफ साइंस</a> ने उन्हें १९४८ के बेक्वेरेल पुरस्कार के लिए चुना था जो उन्हें  उसी साल मरणोपरांत प्रदान किया गया. बिना किसी उच्च औपचारिक शिक्षा के आंद्रे ने गणित की कई शाखाओं पर शोध किया और कई गणितज्ञों के साथ शोधपत्र भी छपे. मुख्यधारा  और दुनिया से पूरी तरह अलग रहने के बावजूद सीमित किताबों और पत्रों के माध्यम से वो गणित के विकास पर काम करते रहे. </p> <p>उस समय के अस्पताल के मुख्य मनोवैज्ञानिक <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Baruk">बरुक</a> ने बाद में बिना आंद्रे का नाम लिए ‘चार्लटन का गणितज्ञ’ नाम से छपे लेख में लिखा कि आंद्रे  ‘तर्कसंगत मानसिकता के रोगी’ थे. उनका तर्क था कि ये उनकी जिम्मेवारी थी कि परिवार के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Eugenics">सुजनन (eugenic duty)</a> के लिए उसकी एक शाखा को खत्म कर दिया जाय जो उनके हिसाब से दूषित थी. कई सालों के बाद अपने सबसे छोटे भाई से मिलने के बाद उन्होंने डॉक्टर को एक बार बताया कि ‘ये सब एक गणितीय तर्क पर आधारित है. मेरे परिवार में पहले मानसिक रोगी रहे हैं और उसे खत्म कर देने के लिए परिवार की एक शाखा को तर्क के हिसाब से खत्म हो जाना चाहिए. मैंने इसके लिए जो काम शुरू किया था वो अभी खत्म नहीं हुआ है’. उन्होंने डॉक्टर से ये भी कहा कि उनके तर्क में भावना का कोई स्थान नहीं और इसके लिए उन्होंने अलेक्जन्द्रिया की प्रसिद्ध गणितज्ञ हिपाटिया के सिद्धांतों का प्रयोग किया.</p> <p><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Hypatia">हिपाटिया</a> पहली प्रसिद्द महिला गणितज्ञ के रूप में भी जानी जाती है. ईसाई कट्टरपंथियों ने ४१५ ई. में हिपाटिया की हत्या कर दी.  शिष्यों के लिखे कुछ लेखों और पत्रों के अलावा हिपाटिया का कोई दर्शन बचा नहीं है. और कोई भी ये अनुमान नहीं लगा पाया कि आंद्रे ने किस सिद्धांत की बात की होगी. वैसे काफी बाद में लिखे गए एक उपन्यास में एक अनुच्छेद मिला जिसमें यह लिखा गया था कि हिपाटिया ने एक नरसंहार पर  कहा की उसे इससे कोई फर्क नहीं पड़ता जब तक कुछ अर्ध-जानवर जिस मिटटी से आये थे अगर उसी मिटटी में कुछ साल पहले चले जाएँ और उससे दुनिया का पुनर्निर्माण और एक महान व्यवस्थित समाज बने. </p> <p>लोग ये नहीं मान पाते कि एक उपन्यासकार की ऐसी कल्पित बात से आंद्रे प्रभावित हुआ हो. ये बिडम्बना ही होगी कि एक गणितीय विद्वान जिसे इस हत्या को छोड़ दें तो बहुत ही शांत और दयालु इंसान के रूप  में देखा गया एक उपन्यास से इस तरह प्रभावित हो जाए. मानसिक अस्पताल के एक छोटी सी जगह में एक मेज पर काम करते रहने वाला आंद्रे अक्सर उस जगह को छोड़ अन्य जगहों पर भी जाने से मना कर देता. ‘गणित मेरे लिए पर्याप्त है’ कह कर टाल देने वाले आंद्रे के सबसे छोटे भाई की लिखी किताब के अनुसार वह बस अस्पताल में गणित के अलावा बस शतरंज खेलता और अत्यंत ही विनम्र किस्म का इंसान था जिसे अस्पताल के कर्मचारी एक आदर्श मरीज के रूप में देखते थे. </p> <p>आंद्रे पत्रों में अपने पते के नाम पर बस मकान संख्या और गली का नाम दिया करता और ये कभी नहीं लिखता कि वो मकान नंबर वास्तव में एक मानसिक अस्पताल है. आंद्रे आजीवन कभी किसी गणितज्ञ से नहीं मिला. पारिवारिक, धार्मिक सुजनन के नाम पर कई नरसंहार हुए हैं. आंद्रे ने पता नहीं किस तर्क से परिवार वालों की हत्या कर दी. कोई भी तर्क मानव हत्या को उचित नहीं ठहरा सकता. वैसे ये एक रहस्य ही है कि ऐसा क्या था जिसने आंद्रे को ऐसा जघन्य अपराध करने को प्रेरित किया. मनोविज्ञान और गणितीय दर्शन दोनों के लिए अब भी ही ये एक रहस्य सा ही है. </p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>१. Henri Cartan and Jacqueline Ferrand, <a href="http://www.springerlink.com/content/e932v46lp230l380/">The case of André Bloch</a></p> <p>२. Douglas M. Campbell, <a href="http://www.springerlink.com/content/3nv030p328774613/">Beauty and the beast: The strange case of andre bloch</a></p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com12tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-55062380396096675052011-02-23T09:50:00.001+05:302011-02-23T10:01:14.698+05:30अंको का विभाजन<p> <br />अंको की अपनी दुनिया है. इनमें डूबने वाले खूब गोते लगाते हैं. ऐसे ही गोते लगाने वालों में एक थे 'को नहीं जानत है जग में'  की तर्ज पर प्रसिद्द गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan">श्रीनिवास रामानुजन</a>. इन्ट्यूशनिज्म के महारथी... ऐसे गणितज्ञ जो पता नहीं कैसे सोच कर ऐसी बातें लिखते जिन्हें समझना उस समय तो क्या अब भी मुश्किल है. ऐसे लोगों के बारे में कुछ भी कहना मुश्किल होता है क्योंकि एक तो अपने छोटे जीवन में वे बहुत कुछ कह नहीं पाए फिर जो कुछ कहा भी उसमें से दुर्भाग्यपूर्ण तरीके से बहुत कुछ खो गया… फिर जो कुछ मिला उसमें से कुछ बातें अपूर्ण ही मिल पायी... और फिर कुछ ऐसी भी मिली जिनका मतलब समझ पाना आसान नहीं. खैर इनके बारे में कभी पूरी श्रृंखला लिखने का मन है. फिलहाल उनके पहले पत्र से लेकर उनकी म्रत्यु के ५७ वर्षों के बाद ट्रिनिटी कॉलेज कैम्ब्रिज की लाइब्रेरी में मिले इनके कुछ नोट्स पर हुए शोध के बारे में. (जो बाद में दो अमेरिकी गणितज्ञों ने <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan's_lost_notebook">रामानुजन'स लोस्ट नोटबुक्स</a> के नाम से प्रकाशित की, जिनमें से एक गणितज्ञ ने कहा था "The discovery of this Lost Notebook caused roughly as much stir in the mathematical world as the discovery of Beethoven’s tenth symphony would cause in the musical world." ).  इस सवाल के शोधकर्ता को इस साल का फील्ड्स मेडल मिलना लगभग तय सा है. </p> <p><em>ये गणित के उन सवालों में से है जिन्हें समझने के लिए बस जोड़ और गिनती आना पर्याप्त है पर हल होने में सदियाँ गुजर गयी.</em> अब देखिये न कितना आसान है: ३ = १+१+१ = २+१ = ३. वैसे ही ४ = ३+१ = २+२ = २+१+१ = १+१+१+१ = ४. साधारण सा जोड़... और अंको के विभाजित करने का तरीका. जैसे ३ को १ और २ से जोड़ कर बनाया जा सकता है या १,१ और १ से और ३ एक खुद. इस तरह ३ को विभाजित करने के ३ तरीके हुए वैसे ही ४ को विभाजित करने के पांच तरीके होंगे. अब सवाल ये है कि <em>किसी अंक को कुल कितने तरीके से विभाजित किया जा सकता है?</em> बहुत ही साधारण सा सवाल है. </p> <p>लेकिन ३ और ४ के लिए तो ठीक पर ये अंक जैसे जैसे बढते हैं इनके विभाजन के तरीके बड़े अजब-गजब तरीके से तेजी से बढ़ते हैं. जैसे अगर १०० को विभाजित करना हो तो कुल १९०५६९२९२ तरीके हो जाते हैं. अब १००० को करना हो तो कितना बड़ा अंक आ जाएगा ये आप <a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=partitions+of+1000">इस लिंक</a> पर देख आयें. थोडा और बढ़ा दें तो पता चले कि ये कम्पूटर भी ना निकाल पाए ! अब सवाल ये था कि कैसे निकाला जाय कि किसी अंक को कुल कितने तरीके से विभाजित किया जा सकता है? </p> <p>पहली कोशिश महान गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler">ओय्लर</a> साहब ने की थी. ओय्लर साहब ने  <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_function">जेनेरेटिंग फंक्शन</a> और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Power_series">पावर सीरीज</a> की मदद से सवाल को नए तरीके से लिखा. साधारण भाषा में कहने का मतलब ये कि वो कुछ ऐसा कह गए कि अगर दिल्ली से कलकत्ता की दुरी पता करना हो तो उसकी जगह अगर ये पता कर लें कि किस चाल से वहाँ  पहुचने में कितना समय लगता है तो भी दूरी निकाली जा सकती है. पर दिल्ली से कलकत्ता जाए कैसे? ये किसी को अभी भी पता नहीं था. कहने का मतलब ये कि सवाल अभी भी हल नहीं हो पाया !</p> <p>१९१३ तक इस सवाल की किसी को हवा तक नहीं लग पायी. फिर १९१३ में मद्रास के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan">एक बालक</a> ने इंग्लैण्ड के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy">हार्डी</a> को जो पत्र लिखा उसमें एक फोर्मुला था. जो गलत होते हुए भी इस सवाल का अब तक का सबसे महत्तवपूर्ण सुझाव साबित हुआ. और फिर बाद में रामानुजन ने एक फोर्मुला दिया और हार्डी ने मिलकर साबित किया. मेजर मैकमोहन ने किया जोड़ घटाव का काम (मेजर साब के बारे में फिर कभी). यह कालजयी सूत्र गणित में एक चमत्कार सा था. यह सही सही तो नहीं पर बहुत सटीक अनुमान देता था सवाल के उत्तर का कितने भी बड़े अंक के लिए. </p> <p>उनेक बाद सवाल लगभग वहीँ का वहीँ पड़ा रहा. १९३७ में उनके नोट्स का इस्तेमाल कर <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Hans_Rademacher">हान्स रादेमचेर</a> ने एक सूत्र बनाया पर वो भी अनंत अंको को जोडने वाला कठिन सूत्र था. फिर एमरी विश्वविद्यालय के प्रोफ़ेसर <a href="http://www.mathcs.emory.edu/~ono/">केन ओनो</a> और उनके सहयोगियों ने पिछले महीने इस सवाल को हल कर लेने की <a href="http://esciencecommons.blogspot.com/2011/02/nature-of-math-eureka.html">घोषणा</a> की. प्रोफ़ेसर ओनो कहते हैं कि ओय्लर ने जो दिया उससे  गणित के ब्रह्माण्ड में बस मंगल ग्रह तक को देख पाने की सी बात थी. उससे १५० सालों में २०० से बड़े अंको का विभाजन नहीं किया जा सका. फिर रामानुजन ने गणितज्ञों को टेलीस्कोप दे दिया... जिसमें दूर के ग्रहों और तारों को देखने की क्षमता थी. </p> <p>रामानुजन की डायरी में एक लाइन थी जिसमें उन्होंने लिखा था "there appear to be corresponding properties in which the moduli are powers of 5, 7, or 11... and <em>no simple properties</em> for any moduli involving primes other than these three."  पर इसकी व्याख्या कर पाने के पहले ही ३२ वर्ष की उम्र में रामानुजन चल बसे. </p> <p>कंप्यूटर और नए गणितीय खोजों के बावजूद रामानुजन के नोट्स गणितज्ञों के लिए विस्मय का कारण बने रहे और वो उस लाइन का मतलब ढूंढते रहे. फिर केन ओनो की टीम को पता लगा कि रामानुजन के टेलीस्कोप से जितना दिख रहा था उसके आगे ब्रह्माण्ड में देखने की जरुरत नहीं. क्योंकि उसके बाद यही <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3CB736kObcuiF5EcO0JTvqh7UGvLHpHvTGI8RurKYtRpBottRBWubNYPAhKFuFtneR4-gLJ-zMHPWiidiNYxtIIyYnV3_ZfchBgxLebe9c2hC92l7vKqclL4csM6_QPi7FA1qeFNh8d4/s1600-h/fractal%5B6%5D.jpg"><img style="background-image: none; border-bottom: 0px; border-left: 0px; margin: 5px 0px 5px 5px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; float: right; border-top: 0px; border-right: 0px; padding-top: 0px" title="fractal" border="0" alt="fractal" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjblq7hf6qdLVm8o0KT_pxT4_My_cnsrFvehiN29_n0EX8_zdnRtqYd3jC-k2D72VROQpknoIRIMntqvSLlX4ZvnNgd6mGd0UcrnUSjpprTW0TdvvyDeizuJJ_aLo5I1ShPG_YbzgCKcOA/?imgmax=800" width="244" height="184" /></a>दुनिया फिर से अपने को दुहरा रही है. उन्होंने अंको के विभाजन में <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal">फ्रैक्टल</a> का सिद्धांत पाया. ओनो कहते हैं कि रामानुजन का no simple properties फ्रैक्टल ही हैं. इस तरह पिछले महीने ये सवाल हल हो गया. फ्रैक्टल अपने आप को अनंत तक दुहराने वाले पैटर्न होते हैं और केन ओनो की टीम ने अंको के विभाजन में यही पैटर्न ढूंढ निकाला है. जिसकी मदद से उन्होंने एक <a href="http://www.aimath.org/news/partition/brunier-ono.pdf">बीजगणितीय सूत्र</a> निकाला है अंको के विभाजन को निकलने के लिए. </p> <p><strong>चलते-चलते</strong>*: बताता चलूँ कि रामानुजन के बारे में हम जितना सुनते-जानते हैं उससे कहीं ज्यादा महान गणितज्ञ थे. इतिहास में एक बार पैदा होने वाले एक महर्षि की तरह. उनके बारे में ३ महीने पहले (उनके जन्मदिन पर) <a href="http://www.pnas.org/content/102/13/4663.full">जोर्ज ऐंड्रूस</a> का लिखा लेख है: <a href="http://www.math.psu.edu/andrews/pdf/274.pdf">The meaning of Ramanujan: Now and for the future.</a> जो कुछ यूँ शुरू होता है:  <em>In this paper we pay homage to this towering figure whose mathematical discoveries so affected mathematics throughout the twentieth century and into the twenty first. Whenever we remember Ramanujan, three things come most vividly to mind: (1) Ramanujan was a truly great mathematician; (2) Ramanujan's life story is inspiring; and (3) Ramanujan's life and work give credible support to our belief in the Universality of truth. We shall examine each of these topics in the next three sections. A careful examination of each topic should, at least, give us some inkling of the meaning of Ramanujan. </em>(<a href="http://www.pnas.org/content/102/13/4663.full">ऐंड्रूस</a> को रामानुजन के नोट्स को ढूंढने का श्रेय जाता है. आजीवन वो रामानुजन के नोट्स पर काम करते रहे हैं.)</p> <p>और दो महीने पहले ही खुद केन ओनो द्वारा अमेरिकन मैथेमेटिकल सोसाइटी में छपा ये आलेख: <a href="http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/127.pdf">The last words of a genius</a>. और अगर पढ़ सकें तो अपने भारत के इस अद्भुत गणितज्ञ के बारे में ये किताब जरूर पढियेगा. संघर्ष, बिडम्बना और प्रतिभा का अद्भुत संगम: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/The_Man_Who_Knew_Infinity">The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan</a>.</p> <p>*अगर आपने यहाँ तक पढ़ा है तो बता दूं कि <strong>चलते-चलते</strong> के बाद के जो लिंक हैं वो पढ़ने की कोशिश कीजियेगा. जहाँ गणित दिखे उसे छोड़कर अंग्रेजी वाले पैराग्राफ ही सही. अच्छा लगेगा, इसकी गारंटी <img style="border-bottom-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-left-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmWUOT7IACFG3DhDszYScSHmJquZNBbeKO7hHhVnZtuzQ1x0LV0ovHA5kn0MBSRyHU0eO1UVpa6X71GKgIStNA8tTnD-fWo4bRIkNg_U1Z2u4gWsp06unIO-y_P8Hyut663PBvs__vSD0/?imgmax=800" /> वैसे रामानुजन पर कभी फुर्सत में ढेर सारे पोस्ट लिखने का मन है. </p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>तस्वीर: गणितीय सूत्र से बना फ्रैक्टल. इसे मैंने कभी <a href="http://baatein.aojha.in/2008/10/blog-post_27.html">गणितीय रंगोली</a> नाम देकर इसी ब्लॉग के लिए बनाया था, उस पोस्ट पर कुछ और भी हैं. खूबसूरत लगे तो देख आइये. इसे देखने में क्या लजाना? वैसे भी गणितीय है <img style="border-bottom-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-left-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmWUOT7IACFG3DhDszYScSHmJquZNBbeKO7hHhVnZtuzQ1x0LV0ovHA5kn0MBSRyHU0eO1UVpa6X71GKgIStNA8tTnD-fWo4bRIkNg_U1Z2u4gWsp06unIO-y_P8Hyut663PBvs__vSD0/?imgmax=800" /></p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com15tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-88855363787175919112011-02-13T11:22:00.001+05:302011-02-13T11:27:29.538+05:30अंकों के देश में !<p>गणित का मतलब हम अक्सर अंको से ही लगाते हैं. गणित माने जोड़, घटाव, गुणा और भाग. हमें लगता है बस यही है गणित. पर ये गणित तो बस अंको का गणित है. गणित तो बिन अंको के भी होता है। ... चलिये इसे हम <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic">अंकगणित</a> कहते हैं. पर वास्तव  में अंको का गणित भी इन अंकों तक ही नहीं है. <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Number_theory">संख्या सिद्धांत</a> या नंबर  थियोरी अंकगणित से  कहीं अधिक विस्तृत होता है और इसमें अंको के गुण और उससे जुड़े नियम होते हैं. कुछ दिनों पहले <a href="http://mathfail.com">मैथफेल</a> नामक ब्लॉग पर आई ये तस्वीर मुझे बहुत पसंद आई थी. आज चलते हैं अंकों के देश में. पर जैसा कि ये तस्वीर कहती है अंकगणित गणित नहीं है ! <a href="http://mathfail.com/2011/01/arithmetic-vs-math.html"><img style="background-image: none; border-bottom: 0px; border-left: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; display: inline; float: right; border-top: 0px; border-right: 0px; padding-top: 0px" title="Arithmetic-Mathematics" border="0" alt="Arithmetic-Mathematics" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSWhxnWsTvjHd1pLBG2JAECgkcRbHKxOQweMZcSPZnY35Fq8e8rRG8odBC_3D3tdklMjAhRWdhj1Y1ZZEKiQ8hjDQ-RwpBFzUCIUpvTRLl6xTkLzx3T5oIHU_ywO0t6vFSrpqT1VY03j0/?imgmax=800" width="147" height="484" /></a></p> <p>वैसे गणित की सीधी सी परिभाषा तो ये हैं कि जो आसानी से समझ में आ जाए वो गणित नहीं है<img style="border-bottom-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-left-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUOHD9InEYte9JxzD0TTVH7EtzVhyqQ-Ka6GZF9NnLN6FVHrQm_h40ruZXn4FKQFn03A3g-N_u5sWdGHFxxYmcihiAJoh91uowCnel7XiUqQ3dCXXg1gSlk0Fxx2yk_Ej0dFc3ph30Fik/?imgmax=800" />  जैसे अंको तक का गणित आसानी समझ में आ जाता है तो गणितज्ञ उसे गणित ही नहीं मानते. अंको के लिए उन्होंने संख्या सिद्धांत बनाया. वैसे ही पिछली पोस्टों में जब <a href="http://baatein.aojha.in/search/label/Beauty%20in%20Mathematics">गणित की खूबसूरती</a> पर चर्चा चली थी तो मैंने लिखा था कि गणितज्ञ गणित के उन सिद्धांतों को गणित ही नहीं मानते जिनका उपयोग होने लगता है असली गणित को तो वो साश्वत सत्य की खोज और कविता सा मानते हैं. अब ये अलग बात है कि कहने वाले उसे ये कहते हैं कि अँधेरे कमरे में बैठ कर काली बिल्ली ढूंढने के सामान है ये गणित.... और मजे की बात है कि वो बिल्ली उस कमरे में  होती नहीं ! पर ये तो हुई मजाक की बात. संख्या के सिद्धांत में अंको के नियम और नियमों से अंक बनाए जाते हैं. नहीं-नहीं मैंने गलत टाइप नहीं किया नियमों से अंक भी बनाए जाते हैं. अब एक नए तरह के अंकों की एक नयी ही दुनिया होती है. उसके अपने नियम होते हैं और उनको आपस में जोडने घटाने और गुणा भाग करने के नियम भी नए होते हैं. </p> <p>अंको से हमारे दिमाग में जो सबसे पहले अंक आते हैं उन्हें <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Integer">पूर्ण अंक</a> (...३,-२,-१,०,१,२,३,...) कहते हैं या <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number">प्राकृतिक संख्याएं</a> (१,२,३...) <a href="http://simple.wikipedia.org/wiki/Even_number">सम</a>, <a href="http://simple.wikipedia.org/wiki/Odd_number">विषम</a>, <a href="http://simple.wikipedia.org/wiki/Prime_number">रूढ़</a> इत्यादि अंको के कुछ मौलिक गुणों के आधार पर अंको का वर्गिकरण होता है। जैसे जो संख्या 2 से विभाजित हो वो सम संख्या जो न हो वो विषम, जो किसी से भी विभाजित ना हो वो रूढ़। ये सभी गिनती वाले अंक हैं अब ये एक बड़े परिवार का हिस्सा हैं जिन्हे <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_number">परिमेय अंक (रेशनल)</a> कहते हैं।  जैसे १/४,२/३,५/१ इत्यादि. अब आपने <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Fraction_(mathematics)">बट्टा या भिन्न</a> के सवाल पढे होंगे। इनके अपने नियम हैं... अब इन परिमेय अंको के पड़ोसी अंक होते हैं <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number">अपरिमेय अंक।</a> बहुत करीबी पड़ोसी… एक दूसरे के आजू-बाजू रहने वाले लेकिन दोनों के गुण आपस में नहीं मिलते। इनकी समस्या ये है कि इन्हें भिन्न या बट्टे में नहीं लिखा जा सकता। अब कितने भी करीबी पड़ोसी हों ये भिन्न नहीं होंगे तो अभिन्न कहना ही पड़ेगा। तो इस तरह बने परिमेय के पड़ोसी अपरिमेय !</p> <p> ये सारे परिमेय और कुछ अपरिमेय जिस मुहल्ले में रहते हैं उसका नाम हुआ बीजगणितीय मुहल्ला. विभाजन के बाद कुछ अपरिमेयों ने परिमेयों के साथ रहने का फैसला किया होगा <img style="border-bottom-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-left-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUOHD9InEYte9JxzD0TTVH7EtzVhyqQ-Ka6GZF9NnLN6FVHrQm_h40ruZXn4FKQFn03A3g-N_u5sWdGHFxxYmcihiAJoh91uowCnel7XiUqQ3dCXXg1gSlk0Fxx2yk_Ej0dFc3ph30Fik/?imgmax=800" /> तो इन सबको एकसाथ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number">बीजगणितीय अंक</a> कहते हैं। बीजगणितीय मुहल्ले वालों का एक गुण ये होता है कि वे सभी एक खास तरह के समीकरण के हल (मूल) होते हैं। अब जो ऐसे समीकरणों के हल नहीं हो पाते वो बाजू के मुहल्ले में रहते हैं और उन्हें इस जटिल मुहल्ले वालों को <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number">ट्रैन्सन्डेन्टल अंक</a> कहते हैं। बीजगणितीय और जटिल अंकों को मिलकर <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number">वास्तविक अंक</a> नामक जिला बनता है। </p> <p>अब आप कहेंगे सारे नंबर तो हो गए जिले तक ही। पर असली अंक तो अब चालू होते हैं ! इन जिलों के मण्डल को <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number">अतिवास्तविक या हाइपररियल अंक</a> कहते हैं। इनके गुण का तो वही सिद्धान्त है कि जो किसी राज्य के निवासी का होता है वो पहले देशवासी है। पहले भारतीय फिर बिहार, बंगाल। तो उसी तरह जो अतिवास्तविक के गुण है वो वास्तविक के होंगे ही।  इसके बाद आते हैं <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number">समिश्रित अंक याने काम्प्लेक्स अंक</a>। वास्तविक और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_number">काल्पनिक अंको</a> के जिलों को मिलकर बना समिश्र प्रांत। काल्पनिक अंक माने आई लगे अंक। जैसे 1+2आई. आई का मतलब होता है ऋणात्मक अंक का वर्गमूल... वही वाला वर्गमूल जिसके बारे में हम बचपन में पढ़ते हैं कि केवल धनात्मक अंको का ही वर्गमूल होता है। यहाँ भी चकमा दे गए न गणितज्ञ पढ़ा दिया कि धनात्मक अंको का वर्गमूल होता है और फिर पता चला कि ऋणात्मक का भी वर्गमूल होता है ! <em><strong>तो भैया इसका मतलब ये है कि गणित देश के छपरा से आगे ही नहीं जाएँगे तो पता कैसे चलेगा कि लखनऊ भी कोई जगह है ? दिल्ली, लंदन तो अभी दूर है ही।</strong></em> </p> <p>अब इन मिश्रित संख्याओं के प्रांत को बढ़ा दें तो बृहतसमिश्रित प्रांत का नाम हुआ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion">क्वाटरनायन</a>। अब इस बृहत क्षेत्र में रहने वाले अंको की एक मजेदार आदत होती है कि एक को दूसरे से गुणा कर दो तो वही नहीं आता जो दूसरे को पहले से गुणा करने पर आता है। यानि यहाँ 2X3 अगर 6 होता है तो 3X2 कुछ और होगा ! अब अलग-अलग जगह के लोगों के अपने अपने तरीके हैं। वैसे ही इन अंको के अभी अपने नखरे हैं. ये समिश्रित अंको का एक तरह से 2 डायमेशन से तीन डायमेंशन में विस्तार है। </p> <p>इस बृहत् प्रान्त के बाहर आते हैं <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Octonion">ओक्टोनायन</a>. इनके रंग, गुण और नखरे तो और भी अजीब होते हैं। यहाँ भी दो का आपसी गुणा आगे की जगह पीछे से कर देने पर अलग हो जाता है तो तीन अंक लेकर अगर पहले दो को गुणा करने के बाद तीसरे से गुणा किया जाय तो वही नहीं आता जो पहले आखिरी दो को गुणा करने के बाद पहले से गुणा करें ! आप ये कहें कि ओझवा बौरा गया है और अब गुणा भाग भी भूल गया. इसके पहले मैं ये सैर बंद कर देता हूँ <img style="border-bottom-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-left-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-openmouthedsmile" alt="Open-mouthed smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFjc8BVSSbMPXJ0P6pzDGrjOTya8kRIay4T-IS57TOLbgq98ID3dpdPav9q8zBZ4V0eXFyzDPXUNiCyi_T0aInbZqSv399K3rlQu33gTNVmLFbxuszB2tekwiTqF3uACoaGl_I6CfhcHM/?imgmax=800" />  फिर चलेंगे कभी अभी आप हवा खा के आइये.</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>--</p> <p>ये ब्लॉग बंद सा हो गया था. धन्यवाद <a href="http://hindini.com/fursatiya/">अनूपजी</a> का जो उन्होंने आज याद  और हमने एक पोस्ट ठेल  दी. आपने झेला हो तो मेरे साथ उन्हें भी कोस लीजियेगा और जो धन्यवाद देना हो तो मुझे दे जाएँ. झूठा ही सही <img style="border-bottom-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-left-style: none" class="wlEmoticon wlEmoticon-smile" alt="Smile" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUOHD9InEYte9JxzD0TTVH7EtzVhyqQ-Ka6GZF9NnLN6FVHrQm_h40ruZXn4FKQFn03A3g-N_u5sWdGHFxxYmcihiAJoh91uowCnel7XiUqQ3dCXXg1gSlk0Fxx2yk_Ej0dFc3ph30Fik/?imgmax=800" /></p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com21tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-72195867414619988722010-04-19T04:15:00.000+05:302010-04-19T04:15:00.401+05:30एक मानचित्र में कितने रंग?<p>कभी आपने सोचा है एक रंगीन नक्शे (मानचित्र) में कितने तरह के रंग प्रयोग किए जाते हैं? वैसे तो चाहे जितनी मर्जी इस्तेमाल किए जा सकते हैं लेकिन 1852 में एक नक्शे को रंगते हुए <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Francis_Guthrie">फ्रांसिस गुथरिए</a> नामक एक वनस्पतिशास्त्री और गणितज्ञ के दिमाग में ये सवाल आया कि <strong>कम से कम कितने रंगों के इस्तेमाल से कोई भी नक्शा बनाया जा सकता है ताकि कोई भी दो पड़ोसी देशो को एक ही रंग में ना रंगना पड़े?</strong> देशों के आकार-प्रकार और हर देश के लिए पड़ोसी देशों की संख्या जो भी हो उन्होने अटकलबाजी करते हुए एक अनुमान लगाया कि इस सवाल का उत्तर चार रंग है. और चार रंग ही पर्याप्त हैं ऐसे किसी भी नक्शे को बनाने के लिए. इस अनुमान ने चार रंगों वाले कंजेक्चर को जन्म दिया.</p> <p>गणित में अटकलबाजी का बड़ा महत्त्वपूर्ण स्थान है. अनुमान, अनुभव और अंतर्ज्ञान के आधार पर गणितज्ञ कोई बात कह देते हैं. जब तक ये बात सही या गलत सिद्ध नहीं हो जाती तब तक इसे अटकलबाजी ही तो कहेंगे ! तो इन्हें तब तक कंजेक्चर कहा जाता है, सिद्ध हो जाने के बाद ये कंजेक्चर प्रमेय हो जाते हैं. </p> <p>फ्रांसिस के अनुमान के बाद सौ वर्षों से अधिक तक यह सवाल अनुमान ही बना रहा. चार रंग वाले सवाल (फोर कलर प्रोबलम) के नाम से प्रसिद्ध यह टोपोलोजी के सबसे प्रसिद्ध और ऐतिहासिक सवालों में से एक है. बाकी सवालों की ही तरह इसे भी हल करने के प्रयास होते रहे और कई लोगों ने इसे साबित भी कर दिखाया. इन कई लोगों के प्रमाण कई वर्षों तक मान्य भी रहे. पर कुछ सालों बाद इनमें गलतियाँ ढूँढ ली गयी. ऐसे ही एक प्रमाण को गलत साबित करते हुए 1890 में <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Percy_Heawood">पार्सि जॉन हेवूड</a> ने एक नया सिद्धांत दिया जिसमें उन्होने यह साबित किया कि पाँच रंगों से ऐसे नक्शे बनाना संभव है. पर वो ये नहीं दिखा सके कि चार रंगों में ही संभव है या नहीं ! तो मूल सवाल अभी भी  बना रहा. </p> <p>इस सिलसिले में ग्राफ थियरि और टोपोलोजी का खूब विकास हुआ. ग्राफ रंगने से जुड़े अनगिनत सिद्धांत और सवालों का जन्म हुआ. ग्राफ थियरि में इस सवाल को इस तरह देखा जाता है: हर देश को एक बिन्दु से निरूपित किया जाता है और हर पड़ोसी देश को एक रेखा से जोड़ दिया जाता है. फिर सवाल ये हो गया कि कितने रंग चाहिए जिससे एक रेखा से जुड़े कोई भी दो बिन्दु एक ही रंग में ना रंगे हो? वैसे तो लगता है... ठीक है रोचक सवाल है. लेकिन इसका क्या उपयोग है? इस सवाल का बड़ा व्यापक उपयोग है... जैसे टेलीकॉम कंपनियां अपना नेटवर्क डिजाइन करते समय इसका इस्तेमाल कुछ इस तरीके से करती हैं: कम से कम कितने ट्रांसमीटर में काम हो जायेगा और फिर उतने ट्रांसमीटर से नेटवर्क डिजाइन कैसे किया जाय? </p> <p>हाँ तो ये रंगों का सवाल कंजेक्चर बना रहा और अंततः 1976 में इलियोनोई विश्वविद्यालय के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Haken">वोल्फगैंग हेकेन</a> और <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kenneth_Appel">केनेथ एपेल</a> ने घोषणा की ये चार रंगों वाला सवाल अब चार रंगों वाले प्रमेय के नाम से जाना जायेगा. यानि उन्होने इस कंजेक्चर को सिद्ध कर देने की घोषणा की. पर समस्या अभी गयी नहीं और इस हल ने एक नए विवाद को जन्म दिया. कई गणितज्ञों ने इस हल को मानने से इंकार कर दिया. इस हल में गणित के अलावा कंप्यूटर की मदद ली गयी. इस सवाल को हल करते हुए अंत में 1476 ऐसी अवस्थाएँ बची जिन्हें अगर एक-एक करके जाँच लिया जाय तो ये हल पूर्ण हो जाता. लेकिन इस जाँच में इतनी गणनाएँ थी कि इन्हें कागज-कलम और इंसानी दिमाग-समय में करना असंभव था. दोनों गणितज्ञों ने इस हिस्से को कम्प्युटर जनित अलगोरिथ्म्स से जाँच लिया (कम्प्युटर पर भी इन्हें जाँचने में हजारो घंटे लगे). पर कुछ गणितज्ञों की आपत्ति थी कि अगर कुछ गणनाओं में कहीं कोई गलती हुई तो? पर यह लगभग मान लिया गया कि फ्रांसिस का अनुमान सही था और चार रंग ही पर्याप्त हैं.  तब से अब तक कई परिष्कृत प्रमाण दिये गए इस सवाल के. 2005 में माइक्रोसॉफ़्ट के <a href="http://research.microsoft.com/en-us/people/gonthier/">जोर्जेस गोथिएर</a> और इनरिया के <a href="http://www.lix.polytechnique.fr/~werner/">बेंजामिन वर्नर</a> ने इस प्रमेय का एक नया प्रमाण दिया पर वह भी कम्प्युटर आधारित ही है. पर इस प्रमाण में एक-एक करके जाँचने वाला चरण नहीं है. यह प्रमाण फंकशनल प्रोग्रामिंग लैंगवेज़ और कैलकुलस ऑफ इंडक्टिव कंस्ट्रक्शन पर आधारित इंटरैक्टिव थियोरम प्रूवर पर आधारित है.</p> <p>बिना कम्प्युटर की मदद के इस प्रमेय का अभी भी कोई प्रमाण नहीं है. इस प्रमेय के हल के बाद कम्प्युटर वाली पद्धति का और भी कुछ सवालों के हल में इस्तेमाल हुआ है. वैसे ये पद्धति अभी भी विवादास्पद बनी हुई है !</p> <p><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAdRM4rKhb2zUE8c2LPuEfJKhbOOHAQ4ZrsbTLwUcoTRBoV3nYBu1SVMqzvl-v8EGLIC4O8IGSYneua22K0utupysuKrwTbJM5zVsph2oSbPJT8SQiB4fMI7ZqZVWSLd2jjlpwmMXFFWs/s1600-h/April%20fool%205%20color%20map%5B4%5D.gif"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: inline; margin-left: 0px; border-top: 0px; margin-right: 0px; border-right: 0px" title="April fool 5 color map" border="0" alt="April fool 5 color map" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyJuHzGuLioMXMCccKt8Gb0inmeo6rcHsC97CJep2x4VcrZ4IbFVFIK4qgXWsxW3Q4_W7T8VVkNZA0pn-qTp1Pkk_pg1JeurGLmpTLJ0fGP2zpHBmMF__-vWIMlSegvINys7pvmCmZQ6w/?imgmax=800" width="109" height="114" /></a>इस सवाल से जुड़ी कई रोचक बातों में से एक यह भी है: 1975 में <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Martin_Gardner">मार्टिन गार्डनर</a>  ने अप्रैल फूल जोक के रूप में एक 110 देशों का यह काल्पनिक मानचित्र बनाकर यह कहा कि इस मानचित्र के लिए 5 रंगों की आवश्यकता पड़ेगी और इस तरह चार रंगों वाला कंजेक्चर ही गलत है. पर बाद में यह दिखा दिया गया कि इस मानचित्र को भी 4 रंगों से रंगा जा सकता है. </p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>--</p> <p>इस पोस्ट के लिए <a href="http://unmukt-hindi.blogspot.com/">उन्मुक्तजी</a> का धन्यवाद. उन्होने <a href="http://kuchh-baatein.blogspot.com/2010/03/blog-post_23.html">पिछली पोस्ट</a> पर की गयी टिपण्णी में इस सवाल पर लिखने का सुझाव दिया था.</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com22tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-66878000851476856612010-03-23T04:30:00.001+05:302010-03-23T14:36:57.451+05:30कोनिसबर्ग के पुलों वाली पहेली और टोपोलोजी की शुरुआत<p>कोनिसबर्ग के पुलों वाली पहेली एक सरल और रोचक ऐतिहासिक पहेली है. ये गणित की उन पहेलियों में से है जिन्हें समझना बिल्कुल ही आसान था, पर हल करना थोड़ा मुश्किल. कहते हैं टोपोलोजी की विचारधारा का जन्म इसी पहेली से हुआ. यह पहला सवाल हैं जहाँ पर टोपोलोजी के निशान देखे जा सकते हैं. यही नहीं गणित (और कम्प्युटर साइन्स) की एक प्रसिद्ध शाखा ग्राफ थियरि का विकास भी इसी पहेली से शुरू हुआ. तब जर्मनी के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6nigsberg">कोनिसबर्ग</a> शहर जो अब <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Kaliningrad">कालीनीनग्राद</a>  के नाम सेजाना जाता है और अब रूस में स्थित है के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pregolya">प्रेगेल</a> नदी से बने द्वीप और नदी पर बने सात पुलों ने एक पहेली को जन्म दिया. हालांकि द्वितीय विश्व युद्ध में इनमें से दो पुल ध्वस्त हो गए और उन पुलों में से अब बस पाँच (इन पाँच में से दो पुल उस समय के हैं, बाकी फिर से बनाये गए हैं) बचे हैं. कोनिसबर्ग के तब की तस्वीर का रेखाचित्र और अब के गूगल अर्थ की तस्वीर से तुलना की जा सकती है. </p> <p> <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD467o0kIJvFRq-9499YsIH2SnKustUKCID8gGa9MTB1wCDoiK8VJaEXyluoS9xLuNAqM8pmqt9nESRmY5ivmi-ooxrR9JBeu_uua2HJ0XLwpOjXOc7TxmMP7kv-TojBuDgF3xpck0AYQ/s1600-h/image%5B7%5D.png"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: inline; border-top: 0px; border-right: 0px" title="image" border="0" alt="image" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxkLHh-uc4R4m8ep9rCncTiHSMd6FpJ1L-jcgYj7RVCRCfXZB4lPvItZuhLfkDer_xJMX8D_7NeoceKELVVDSQtox7ZpSWqPmNexwh4a_z17fz3OW0Fz1-2o5-2VH0k3FwakBiBr5KAfI/?imgmax=800" width="203" height="166" /></a>  <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCO7rWbKZ1ufWvmpbFC6qfgRVgI21pPWR2Ab_WQ9gM61t3tBVX95_QrpTzeznZbxK43RrNHCvEHq-bvePdr1QBblu9_KlVqdYGqY2NGbwJnnDOaiB9SMbnky36cajUKFzJ0801HXET2nQ/s1600-h/Konigsberg%5B3%5D.jpg"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: inline; border-top: 0px; border-right: 0px" title="Konigsberg" border="0" alt="Konigsberg" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_7ue4V5PIaEjQ4YE_qZ8AotDFVzy-rNt59X6a6rbPRUyXbA4M34pgvTN5dDpkEpIGABRoQA1NJkH7JWicW6UHYZL-TY0OjxY4ShFLG3n_V-kwFvzNdvthIJF1afE7_h18GYnD-0KQpT8/?imgmax=800" width="199" height="166" /></a></p> <p>कोनिसबर्ग तब व्यापार का केंद्र हुआ करता और ये पुल शहर के अलग-अलग हिस्सों में जाने के लिए इस्तेमाल किए जाते. कोनिसबर्ग के किसी घुमंतू खुराफाती व्यक्ति के दिमाग में ये सवाल आया कि क्या किसी एक जगह से शुरू होने वाली ऐसी यात्रा संभव है जिसमें एक ही यात्रा में इन सातों पुलों को एक और बस एक ही बार पार किया जाय और उस जगह पर वापस आया जाय जहाँ से यात्रा शुरू की गयी थी. ना तो किसी पुल को दुबारा पार करना पड़े और ना ही आधा. </p> <p>अब पहेली तो बन गयी पर ऐसा रास्ता कोई नहीं ढूँढ पाया. ना ही कोई ये सिद्ध कर पाता कि ऐसा संभव नहीं है. अगर आपको याद हो तो बचपन में हमसे भी कुछ होशियार बच्चे कहते कि बिना कलम उठाये एक विकर्ण सहित वर्ग बनाकर दिखाओ. अब बनाने की कोशिश तो हम सभी करते और अंत में कहते नहीं हो रहा ! कुछ ऐसी ही हालत कुछ वर्षों तक  रही होगी कोनिसबर्ग में भी. फिर किसी ने 1736 में ये पहेली तब के प्रसिद्ध गणितज्ञ ओयलर को लिख भेजा. ओयलर सेंट पिटसबर्ग में रहते थे. और उस समय गणित के अलावा यांत्रिकी, भौतिकी और खगोलीय विषयों पर भी काम करते थे. अब इतने मशहूर व्यक्ति थे तो जाहिर है व्यस्त भी रहते थे. कहते हैं उस दौरान वो औसतन सप्ताह में एक शोध पत्र छापा करते. ओयलर को ये सवाल पहले तो बहुत हल्का और बेकार सा लगा पर फिर उन्होने स्वयं एक पत्र में लिखा 'ये मामूली सा सवाल है पर फिर भी मुझे यह समय व्यतीत करने लायक लगा क्योंकि ज्यामिति, बीज गणित और अंक गणित से इसे हल कर पाना संभव नहीं लगता. ' ओयलर ने इस सवाल को व्यापक बनाकर हल किया और यह दिखाया कि किन हालतों में (कितने पुल हो तो) ऐसी यात्रा संभव है. उन्होने यह भी दिखाया कि 7 पुल वाले  मामले में ऐसी यात्रा संभव नहीं. <br /> गौर करने की बात ये है कि इस पहेली में कौन सा पुल किस से कितनी दूरी पर है और किस पुल की लम्बाई कितनी है यह मायने नहीं रखता. संभवतः गणित का यह पहला ऐसा सवाल था जिसमें ज्यामिति जैसी स्थिति होते हुए भी नापने या अंकों की बात ही नहीं थी ! साथ ही यह भी मायने नहीं रखता था कि एक पुल से दूसरे पुल तक जाने का रास्ता सीधा था या टेढ़ा-मेढ़ा. ओयलर ने इसे ग्राफ थियरि से हल किया, इसे हल करने के सिलसिले ने ही ग्राफ थियरि को जन्म दिया और फिर आगे चल कर इन अवधारणाओं पर ही टोपोलोजी का जन्म हुआ. बाद के मशहूर ट्रावेलिंग सेल्समैन जैसे सवाल भी एक तरह से इसी श्रेणी में आते हैं. टोपोलोजी में एक जैसे सवालों/वस्तुओं/समुच्चयों का एक समूह होता है. जैसे यहाँ एक जगह से दूसरी जगह जाने के रास्ते के बीच की दूरी और सीधा-टेढ़ा होना माने नहीं रखता वैसे ही वहाँ एक गोले और घन में फर्क नहीं होता क्योंकि एक को पीटकर दूसरा बनाया जा सकता है. टोपोलोजी के इस सिद्धांत की चर्चा अगले पोस्ट में.  <br />गूगल ने इस प्रसिद्ध पहेली से जुड़ी प्रेगेल नदी के नाम पर ही अपने एक ग्राफ कम्प्यूटिंग का नाम <a href="http://googleresearch.blogspot.com/2009/06/large-scale-graph-computing-at-google.html">प्रेगेल</a> रखा है. <br />और ये रही ओयलर के आरिजिनल पेपर से एक तस्वीर:  <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTTNXLQy3qXUoWBTZaSV3kG16tjyZK6p2CWsFLYIOYrJEhegpfUfQgAuwtBjId3n4vtqYN31VKSVOUZF_uAUduBkAspYxSCQxp11vy1jz0OMaDSjkEkhQoJkM1Tc3idenTRD_O02bO8-E/s1600-h/image%5B2%5D.png"><img style="border-bottom: 0px; border-left: 0px; display: block; float: none; margin-left: auto; border-top: 0px; margin-right: auto; border-right: 0px" title="image" border="0" alt="image" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh7EC5O5vFLh2pQX-eQThwHrT6CJBq_0PVP0H1rxaIcxQH0Zx4_uTRfXsnqEFVUVhlqmOp_J9BmPh2fKAORy4Jguqjs-891rV2EkJrt786cYVtMewSPM_A_3jeJd2RMbeoLeEqxu4_deUc/?imgmax=800" width="244" height="136" /></a></p> <br /><br />__________________________________________<br />पोस्टोपरांत अपडेट: (अभय तिवारी जी की टिपण्णी के बाद)<br />ओयलर का हल:<br />ओयलर ने इस पहेली को ग्राफ में परिवर्तित किया और जैसा कि मैंने ऊपर कहा इस ग्राफ में रेखाओं का सीधा-टेढ़ा होना और बिन्दुओं के बीच की दुरी मायने नहीं रखती. इस ग्राफ में बिंदु जमीन और सात रेखाएं सात पुलों को दर्शाती हैं. <a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_9BBJKIg9zGC6kAd_14KCg2PiZboupAArOvAE1mMnAl4Gg_gr7UELkB4pbGKbO0lmNxVaemzMosMq_izMrbHJnyiBXihj6CX1vzgISTXuVuosepgt8w3sTZBLMToQ3l6UHbGesV8u9Ko/s1600-h/Konigsburg_graph.png"><img style="float:left; margin:0 10px 10px 0;cursor:pointer; cursor:hand;width: 200px; height: 160px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_9BBJKIg9zGC6kAd_14KCg2PiZboupAArOvAE1mMnAl4Gg_gr7UELkB4pbGKbO0lmNxVaemzMosMq_izMrbHJnyiBXihj6CX1vzgISTXuVuosepgt8w3sTZBLMToQ3l6UHbGesV8u9Ko/s200/Konigsburg_graph.png" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5451753051122426418" /></a>ओयलर ने कहा कि पहेली के हिसाब से अगर एक रास्ता ढूँढना है तो यात्रा करते समय बीच में आने वाले सारे बिन्दुओं पर एक आने का और एक जाने का रास्ता होना चाहिए. इस हिसाब से सारे बिन्दुओं पर रेखाओं की संख्या सम होनी चाहिए. केवल २ बिन्दुओं पर जहाँ से यात्रा शुरू हो और जहाँ ख़त्म हो केवल वहीँ विषम संख्या में रेखाएं हो सकती है. और अगर यात्रा जहाँ से शुरू करनी है वहीँ ख़त्म भी तो फिर सारे ही बिंदुओं पर रेखाओं की संख्या सम होनी चाहिए. पर इस ग्राफ में सभी बिन्दुओं पर विषम संख्या में रेखाएं हैं (३ और ५). इसलिए पहेली के हिसाब से यात्रा संभव नहीं है ! <br />__________________________________________<br /><br /><br /><p>~Abhishek Ojha~</p>Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com14tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-16599862539118955542010-03-08T04:27:00.000+05:302010-03-08T04:27:00.160+05:30एलिस इन वंडरलैंड और गणित ?<p>टीम बर्टन की जॉनी डेप अभिनीत फिल्म <a href="http://www.imdb.com/title/tt1014759/">'एलिस इन वंडरलैंड'</a> रिलीज हो गयी है और मुझे इंतज़ार है इसके पुणे में रिलीज होने का. फ़िलहाल सोने के पहले इस फिल्म से जुडी न्यूयोर्क  टाइम्स  में छपे <a href="http://www.nytimes.com/2010/03/07/opinion/07bayley.html?pagewanted=1">इस आलेख</a> पर नजर पड़ गयी. 'एलिस इन वंडरलैंड' के लेखक का गणितज्ञ होना और उनके जीवन काल में हो रहे गणित<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA8gBnfdwclGeZpD3qQ-tkiUlSJ8T1pExYKnt-LOJdsC07PxX8wTaTIygmP9xpnhHtT0nYBsLLRLr8iYUvU0yWnXtQJvggQZ6c7_ekFYjUur6XUgepoy6JgytNEwBS9S03GTx5IbBKNco/s1600-h/alice_in_wonderland%5B2%5D.jpg"><img style="border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; margin-left: 0px; border-left-width: 0px; margin-right: 0px" title="alice_in_wonderland" border="0" alt="alice_in_wonderland" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgU5P3N8TVxIvtWD-GbVoDnHiWju1ZaiNWL_8LOnC6irOzEW637kbDjHGbq4cronKzAffscvAgXq04dMhJXRwduMLee6wsDNZOwKwxhqcWlrF2EyBVCig4_HTm4uibw6J9zbJTtoHOaAZM/?imgmax=800" width="166" height="244" /></a> में परिवर्तनों का इस पुस्तक पर असर होने की सोच बड़ी कमाल की लगी कहाँ गणित और कहाँ एलिस इन वंडरलैंड !  दो अलग ही बातों की तुलना बड़े अच्छे ढंग से की गयी है. <br />नए गणित और उसके आविष्कार के इतिहास में अगर रूचि ना भी हो तो ये आलेख पढने लायक है. कैसे हम जो भी <strike>लिखते</strike>(सोचते) हैं वो कहीं न कहीं हमारे परिवेश और हमारे अब तक के जीवन तथा कार्यक्षेत्र से प्रभावित होता है. भले ही देखने में बिलकुल हमारे कार्यक्षेत्र से अलग हो पर सोच कहीं न कहीं उससे प्रभावित तो होती ही है. जिस क्षेत्र में और जिस तरीके से हम काम कर रहे होते हैं (या करना पड़ता है) धीरे-धीरे उस तरीके से सोचने लगते हैं. आप आलेख लिंक पर  पढ़कर आईये. घंटे भर लगाकर टाइप और ट्रांसलेशन का कुछ फायदा नहीं दीखता मुझे. </p> <h3 align="center"><a href="http://www.nytimes.com/2010/03/07/opinion/07bayley.html?pagewanted=1">Algebra in Wonderland</a></h3> <p>दसवीं क्लास में एक श्लोक पढ़ा था, बाबा चाणक्य सही ही कह गए हैं: </p> <p><strong>दीपो भक्षयते थ्वान्तं काजलं च प्रसूयते. <br />यदन्नं भक्षयते नित्यं जायते तादृशी प्रजा.</strong> </p> <p>जिस प्रकार दीपक अन्धकार को खाकर काजल को जन्म देता है उसी तरह इंसान के विचार भी वैसे ही होते हैं जिस प्रकार का अन्न वह खाता है और उसकी संतानें भी वैसी ही पैदा होती हैं. <br />अब यहाँ अन्न का मतलब डायरेक्ट अन्न ही तो नहीं है (विशेषज्ञ बतायेंगे कुछ)? हाँ उस जमाने में अन्न कमाने के लिए जिस तरह के काम किये जाते हो उसी काम की बात बाबा चाणक्य कर रहे थे होंगे*. मतलब जो काम करो, जैसा पढो, जैसे लोगों के साथ रहो वैसे ही विचार होंगे. अपनी सोच ऐसे ही तो बनती है. जीवन में साथ मिले/रहे लोग, घटनाएं, काम एक बड़ा प्रतिशत बनाते हैं हमारी पर्सनालिटी का.  मुझसे किसी ने कहा तुम्हें सीधे-सीधे बात करनी ही नहीं आती. एक सीधी बात समझाने के लिए ऐसे उदहारण देते हो कि बात सुलझने के वजाय उलझ ही जाती है. [वैसे ये बात इसलिए भी कही गयी होगी क्योंकि सामने वाले को कुछ सीधे-सीधे सुनना होगा मेरे मुंह से ;) जो मैं कह ना पा रहा था होऊंगा*]. </p> <p>*हमारे इतिहास के शिक्षक प्रागैतिहासिक काल का इतिहास पढ़ाते समय 'थे होंगे' का बहुत इस्तेमाल किया करते थे, मुझे बड़ा अच्छा लगा करता था ! <br />आप आलेख पढने जाइए, फुर्सत मिले तो उस पर सोचियेगा, अपने से जोड़कर... मजा आएगा :) </p> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com10tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-49712925272335505812010-01-28T04:27:00.000+05:302010-01-28T04:27:00.301+05:30ये क्या उपयोग हुआ?<p>टोपोलोजी शुद्ध गणित का एक विशुद्ध टाइप का ब्रांच होता है. एकदम अमूर्त... वो गणित जो बस इसलिये पढ़ा-पढ़ाया और विकसित किया जाता है क्योंकि बस गणित है. सालों तक कोई उपयोग या वास्तविक जीवन से जोड़कर नहीं देखा गया. ऐसे में अगर कोई पूछ ले: टोपोलोजी का उपयोग क्या है? तो ये सवाल बड़ा कठिन हो जाता है. अगर आपसे कोई पूछे कि अंकगणित का क्या उपयोग है, त्रिकोणमिति का क्या उपयोग है या फिर ज्यामिति का क्या उपयोग है तो झट से कुछ चित्र  दिमाग में आते हैं. कुछ कोण, क्षेत्रफल, खगोल, गति, दूरी, ऊँचाई... इत्यादि. लेकिन टोपोलोजी का प्रत्यक्ष उपयोग देखने को नहीं मिलता और सीधा-सीधा उपयोग बता पाना थोड़ा मुश्किल है क्योंकि ऐसा उपयोग है ही नहीं. वैसे धीरे-धीरे टोपोलोजी के सिद्धांतों के कई उपयोग होने लगे हैं. इस ज्यामितीय सोच से कई बातों को समझने में सुविधा हुई है. </p> <p>अगर कोई उत्सुक व्यक्ति गणित की अन्य शाखाओं के उपयोग के बारे में जानना चाहे तो उसे कोई वस्तु या कोई चित्र बनाकर संतुष्ट किया जा सकता है. अगर किसी टोपोलोजिस्ट से पूछा जाय तो वो भी शायद एक कैंची और कागज की सहायता से <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip">मोबियस स्ट्रिप</a> (पट्टी) बना कर दिखा सकता है. उस पट्टी को <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhq-c6jKeSXoDwitpVZZi1biMN66OG_WqFSgLdOrpHa5DXknHP3nreI9QgvoOzbq4c9ODIWMfdpK8Hj2CAIATzs7OzMK-HFYyDG9_6Ab04YHhdUIXdT3mbDKmU6GOggNFdqHCtxzs02xG8/s1600-h/Mobiusstrip4.jpg"><img style="border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; margin-left: 0px; border-left-width: 0px; margin-right: 0px" title="Mobius strip" border="0" alt="Mobius strip" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWWLssY9TNLUyy8JM4XGacKsYf4TusVAffg0IYZlhe3XitQNEJb0YmyvLSk_DiDO4-rr_LkGDXhXmHkEyJE-PCIct3Y2h2uslcJ9IJNv0pfUYOzxmAybNpTvCT_vnSCnge4hv4BGb51F4/?imgmax=800" width="207" height="134" /></a><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxMJJXkd-Xb18cI3l_qtGq3Ilo5C12EX450XPogXkH1wy7i8BnT26fJFFjMT-rSMrCUmZ9DT4xmr3NkVOjUcuz8NNIvURJQDjTmpg516p2k1XGiwjj2nMslvP5ezd25oR8blqbPAwSBFI/s1600-h/RecyclingSymbol5.jpg"><img style="border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; margin-left: 0px; border-left-width: 0px; margin-right: 0px" title="Recycling Symbol" border="0" alt="Recycling Symbol" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEORGtxtEu2YqsSIGfbDcfDyTD_tJ87-ncJVSaoLTQ7gfsRqNuehs7hQ8ETBeHf-oYbT99Zaz3a4a5T9bD0HdyFm4sP19NKkS9ooQEE0EnRV572TR8KByqzgOtPsx4DY-155i-1Ds3HMk/?imgmax=800" width="136" height="136" /></a> काटकर और क्या बनाया जा सकता है ये भी दिखा सकता है. हाँ ये बात अलग है कि किसी भी सामान्य व्यक्ति का अगला सवाल ये होगा कि इस स्ट्रिप का अब मैं क्या करूँ? मोबियस स्ट्रिप एक ही सतह की ऐसी पट्टी होती है जिसपर अगर आप एक बिन्दु से चलना चालू करें तो उस पट्टी के हर भाग से घूमकर वापस उसी बिन्दु पर वापस आ सकते हैं बिना कभी किनारे को पार किए ! इस <a href="http://webdocs.cs.ualberta.ca/~bmw/MoebiusAnts.gif">लिंक</a> पर आप चींटियों का मोबियस स्ट्रिप पर चलना देख सकते हैं.  इस स्ट्रिप की तर्ज पर ही एक <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle">क्लाइन बोतल</a> भी होती है. घूम-फिर के वापस वहीं पर आ जाने वाली बात के चलते रिसाइक्लिंग का संकेत मोबियस स्ट्रिप पर आधारित होता है. </p> <p>एक टोपोलोजिस्ट आपको एक धागे कि मदद से ये भी दिखा सकता है कि कैसे तीन छल्लों को आपस में इस तरह जोड़ा जा सकता है जबकि कोई भी दो आपस में ना जुड़े हो ! (<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Borromean_rings">बोरोमीयन रिंगस</a>). अगर वो कुछ और उपयोग दिखाना चाहे तो कुछ पार्लर ट्रिक भी दिखा सकता है. जैसे बिना कोट उतारे अंदर के अँगरखे को उतरना <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBdakSAqJzJ2_x-UJL0GgcWyBQb5JX9fe7d5HoFxqPm7A4tIb1rcru8Q393hVRlkVNM5eaLH7xZCb3J7jomqqsMTijkWmD7n0o2E_HHHLbwc8kaiavaO_xmFc7rZxZjHSNVDUGpYMJFR0/s1600-h/borromeanrings7.gif"><img style="border-right-width: 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; margin-left: 0px; border-left-width: 0px; margin-right: 0px" title="borromean rings" border="0" alt="borromean rings" align="left" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjosAwCg9xGU4dL8rMfQNKTVC0rQjtTZtDLWqgXQX2kSDpogCTT2u3713zGb_mx1CEq6VuZfHTgO2QB1qj7GG1xMTp711PgLSLH2jRT7Zk9CqOt1cZTF8mjuXCAKhQgabPGaoz3CC25XnM/?imgmax=800" width="135" height="131" /></a> संभव है या नहीं ! अगर पक्का टोपोलोजिस्ट हुआ तो ट्रिक तो दिखाने से रहा... कागज पर इस ट्रिक के पीछे का गणित घंटों तक जरूर लिख सकता है. </p> <p>पर ये उपयोग टोपोलोजी के उपयोग का कार्टून बनाने की तरह है. इसके असली उपयोग गणितीय ही होते हैं. इन उपयोगों से मुझे अपने एक गणित के प्रोफेसर साहब याद आते हैं. वो कहते कि मैं घर बैठे अपने दोस्त के साथ या अकेले भी बैंडमिंटन खेल लेता हूँ ! हाथ में कागज और पेंसिल लेकर. मुझे इसके लिए न तो कोर्ट जाने की जरूरत पड़ती है ना भाग-दौड़ ही. लेकिन अगर कागज पर बैडमिंटन के समीकरण लिखे जायें तो इसे बैडमिंटन खेलना तो नहीं कह सकते न? ठीक इसी तरह ऊपर जो उपयोग मैंने बताये वो किसी तरह टोपोलोजी के कुछ वास्तविक उपयोग ढूँढने के प्रयास भर हैं. </p> <p>पार्लर ट्रिक वाला उदाहरण थोड़ा बेहतर है. कुछ भी संभव है या नहीं? इस सवाल/प्रक्रिया को गणितीय/ज्यामितीय रूप में लिखकर फिर हाँ या ना में उत्तर निकालना... टोपोलोजी का एक अच्छा उपयोग है. </p> <p>टोपोलोजी की बाकी कड़ियाँ:</p> <h5><a href="http://kuchh-baatein.blogspot.com/2009/06/blog-post_30.html">टोपोलोजी और फक्का !</a></h5> <h5><a href="http://kuchh-baatein.blogspot.com/2009/11/blog-post.html">बंद भी खुला भी !</a></h5> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com18tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-72034460367412788132009-12-23T04:30:00.000+05:302009-12-23T04:30:01.609+05:30प्रायोगिक गणित के एक संस्थान की कल्पना<p> </p> <p>(एक प्रांत के मुख्यमंत्री को एक अवकाश ग्रहण कर रहे प्रोफेसर द्वारा एक प्रायोगिक गणित और अर्थशास्त्र के संस्थान के लिए दिये जाने वाले प्रेजेंटेशन के लिए लिखे गए एक छोटे से स्लाइडनुमा लेख का अनुवाद)</p> <p>आज प्रायोगिक और परिकलनात्मक गणित (Applied and Computational Mathematics) सारे शोध के विषयों में से सबसे अधिक अंतर्विषयक<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhI65QMm8bXdndMsR63p4rWdH7h8D7o1osx2F9aDtX0UE-dFN__tHAD3KBuB0IzEuM4yScIUvHyNsejPATCL7HIciHEIoUb3U_E_XjTQkxkWqoHnsGzrkrQb2TX2MrthR93SLyGrcf01Iw/s1600-h/rubik_s_cube%5B3%5D.png"><img style="border-right-width: 0px; margin: 5px 0px 5px 5px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" title="rubik_s_cube" border="0" alt="rubik_s_cube" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjmtf7vJZW4ETpyKAPbTNqm8OVeUxlhxmj3wIWGIyUzld4S5REuVjxYKkysjJdvwZ0DmJvs0FlpF1_qFM9jxFA-8cXYT4gYUhOd3geAmYs96mjhd9xTX0dQkdrpWa404mgKeMuBKAcx9vk/?imgmax=800" width="234" height="244" /></a> (interdisciplinary) है. इसमें दैनिक जीवन और वास्तविक दुनिया से जुड़े समस्याओं पर मॉडलिंग, एनालिसिस, एल्गॉरिथ्म विकास और सिमुलेशन शामिल है. केवल विज्ञान और अभियांत्रिकी में ही नहीं बल्कि मानविकी एवं सामाजिक विज्ञान में भी इन गणितीय तकनीकों का इस्तेमाल हो रहा है. ऐसा कहा जाता है कि गणित का उपयोग सभी संभव क्षेत्रों में होता है अगर कहीं नहीं हो रहा तो बस कुछ दिनों में ही होने लगेगा. गणित बाकी क्षेत्रों से (में) इस कदर जुड़ा (उलझा) हुआ है कि प्रायोगिक गणित का एक स्वतंत्र पूर्ण विभाग बनाना लगभग असंभव है. एक आदर्श प्रायोगिक गणित का संस्थान ऐसा होगा जो विश्व भर में उद्योगों, सरकारी विभागों और कारोबार से जुड़े वैज्ञानिकों, गणितज्ञों और अभियंताओं के एक बृहत समूह के साथ मिल कर एक दूसरे के लिए काम करे. ये संबंध रोचक और उपयोगी गणित के लिए प्रेरणा का काम करेंगे जो विज्ञान, अभियांत्रिकी और समाज को नयी ऊँचाई पर ले जाने में सक्षम होगा. </p> <p>एक आदर्श गणित के विभाग में संवादात्मक अंतर्विभागीय शोध (interactive interdepartmental research) के वातावरण को बनाने की क्षमता होनी चाहिए जिससे छात्र अपनी रुचि के हिसाब से विज्ञान, खगोलशास्त्र, वित्त, मानविकी और अन्य विषयों का अन्वेषण कर सकें. यह गणित और उसके प्रयोगों के प्रति प्रेम रखने वालों के लिए एक प्लैटफ़ार्म की तरह होना चाहिए. इन सब के साथ विभाग के पास पूर्वस्नातक छात्रों को वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए उपयुकत गणितीय साधन, पद्धति और रणनीति सिखाने और अभ्यास कराने की क्षमता होनी चाहिए. </p> <p>गणित विवेचनात्मक तर्क और लीक से हटकर सोचने की क्षमता (critical reasoning and out of box thinking) प्रदान करता है जिसे लगभग हर क्षेत्र में प्रयोग किया जा सकता है. एक पाठ्यक्रम की संरचना ऐसी होनी चाहिए जो शुद्ध गणित में छात्रों को बुनियादी रूप से मजबूत कर सके और पाठ्यक्रम में ऐसे समावेश होने चाहिए जिससे ये सीखा जा सकें कि गणित को कैसे वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जा सकता है. पाठ्यक्रम के अंत में इन सीखे गए तरीकों के इस्तेमाल के लिए मौके उपलब्ध होने चाहिए जिसमें छात्र अपनी रुचि के हिसाब से चुने हुए क्षेत्र में विशिष्टता प्राप्त कर सके. विशिष्टता के इन विषयों की सूची बहुत लंबी होनी चाहिए जो विभाग में उपलब्ध आधारभूत सुविधाओं और अध्यापक मण्डली पर निर्भर होगा. मोटे तौर पर इसे तीन वर्ग में बांटा जा सकता है सांख्यिकी, शुद्ध एवं प्रायोगिक गणित, सैद्धांतिक संगणना. इनके प्रयोगों की सूची लंबी है जिसे सूचीबद्ध करना संभव नहीं दिखता. </p> <p>गणित ने लड़ाइयाँ जीती है. गणित की एक शाखा का नाम ‘ऑपरेशनस रिसर्च’ ही इसीलिये पड़ा क्योंकि उसका विकास द्वितीय विश्वयुद्ध के समय युद्ध रणनीति बनाते समय हुआ. वालस्ट्रीट गणितीय फोर्मूलों पर चलता है, किसी भी नयी दवाई को बाजार में लाना हो या मौसम की भविष्यवाणी करनी हो या फिर नए मौद्रिक नीति की घोषणा करनी हो... गणित के प्रयोगों की सूची कभी नहीं ख़त्म होने वाली. </p> <p>देश में मौजूदा गणित के विभागों में से कोई भी प्रायोगिक गणित के प्रति ये रवैया नहीं अपनाता. अमेरिका में सांख्यिकीविद् और बीमांकिक श्रेष्ठ नौकरियां मानी जाती है. कुछ पद जहाँ गणितज्ञों की जरूरत होती है: </p> <ul> <li>वित्त अभियंता </li> <li>सैद्धांतिक भौतिकशास्त्र </li> <li>परफॉर्मेंस अभियंता </li> <li>सरकारी सांख्यिकीविद् </li> <li>गणितीय परामर्शदाता (जेट इंजिन डिज़ाइन, एयरक्राफ्ट डिज़ाइन, नेटवर्क डिज़ाइन इत्यादि) </li> <li>बीमांकिक </li> <li>बाजार विश्लेषक </li> <li>सुरक्षा विश्लेषक </li> <li>चिकित्सा संबंधी सांख्यिकीविद् </li> <li>सांख्यिकी परामर्शदाता (दवाई संबंधित शोध, कृषि शोध, सामाजिक मुद्दों पर शोध, नीति निर्माण इत्यादि) </li> <li>ऐरोड्यनामिक्स </li> <li>द्रव्य अभियांत्रिकी (फ्लुइड मेकेनिक्स) </li> <li>अर्थशास्त्रीक मॉडलिंग </li> <li>ओप्टीमाइज़ेशन परामर्शदाता </li> <li>मौसम भविष्यवाणी </li> <li>कलनात्मक जीवविज्ञान </li> <li>एनिमेशन और फिल्म निर्माण </li> <li>... </li> </ul> <p>हमारे देश में एक ऐसे विभाग की जरूरत है जो युवाओं का इन क्षेत्रों से परिचय करा सके. एक ऐसा विभाग जो विश्लेषणतामक निर्णय लेने वाले युवकों को तैयार कर सके. ऐसे विभाग की अध्यापक मण्डली और शोध समूह कुछ ऐसे होने चाहिए: </p> <ul> <li>वित्तीय अभियांत्रिकी </li> <li>एकोनोमेट्रिक्स </li> <li>प्रायोगिक सांख्यिकी और प्रायिक कलन (Stochastic Calculus) </li> <li>कोंबिनटोरिक्स (Combinatorics) </li> <li>कम्प्यूटेशनल मोलेक्युलर बयोलॉजी </li> <li>प्रायोगिक अभियांत्रिक गणित/प्रायोगिक ओप्टीमाइज़ेशन </li> <li>ऑपरेशनस रिसर्च </li> <li>सैद्धांतिक कम्प्युटर साइन्स/अलगोरिथ्म्स </li> <li>क्वांटम कम्प्यूटिंग </li> <li>सैद्धांतिक भौतिकी/कंडेंसड मैटर फ़िज़िक्स </li> <li>फ्लुइड ड्यनामिक्स </li> <li>क्रिप्टोलोजी </li> <li>गेम थियोरी </li> <li>इत्यादी... </li> </ul> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com11tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-46954591341061346082009-11-24T04:30:00.000+05:302009-11-24T04:30:03.962+05:30बंद भी खुला भी !<p>टोपोलोजी की बात शुरू होने के पहले बंद हो गयी. बात <a href="http://kuchh-baatein.blogspot.com/2009/06/blog-post_30.html">प्रस्तावना</a> से आगे बढ़ी ही नहीं. 'शुरू होने से पहले ही बंद...? !' अब बात थी टोपोलोजी की तो ऐसा ही होना था. इससे याद आया एक उदहारण जो उस किताब में है जिसने हमारा और टोपोलोजी का पहला परिचय कराया. जेम्स मुन्क्रेस की किताब 'टोपोलोजी'.<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggLJgovDnFgAvuCfsAAFhmyAYrH697QJU5xGC3tzGtyf4A6GsDFvFL64fNlYVUOTHjFI40ErReIu75PeZP9heXCWOwVcoNgBNEjHmug4buERIbfMmxc9BwaaD3HFqKuPpj50YtRHaH_T4/s1600-h/Topology%20Munkres%5B3%5D.jpg"><img style="border-right-width: 0px; margin: 5px 0px 5px 5px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" title="Topology Munkres" border="0" alt="Topology Munkres" align="right" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_nJGRl2nz4uITru2DZvTVbA0B4g9Enz53TifyLMavViHyjd9TYcqThdbX2PIgEfUR4SEqnWj66rF7Sb4Y9NRsRYCBzBGf3lC3OOAeXexcXa8dyBVDHkfxVvUF4dQGzi0HrXjt8HaNYUc/?imgmax=800" width="174" height="244" /></a> टेक्स्टबुक के रूप में शायद दुनिया के सभी बड़े स्कूलों में उपयोग की जाती है. उदहारण कुछ ऐसा है... <strong>एक समुच्चय (सेट) और दरवाजे में फर्क ये है कि दरवाजा एक समय पर या तो खुला रह सकता है या बंद... पर एक समुच्चय खुला (ओपन सेट) भी हो सकता है बंद (क्लोज सेट) भी, और खुला और बंद दोनों हो सकता है !</strong> पहली बार पढ़ा था तो मजा तो आया था. साथ में ये भी लगा था ससुर समुच्चय ना हुआ अजूबा हो गया. वैसे टोपोलोजी अजूबा ही है [बस समझ में आना चाहिए, मुझे बहुत ज्यादा नहीं आता :) एक ईमानदार स्टेटमेंट दे रहा हूँ. अब इंसान एक समय पर ईमानदार और बेईमान दोनों तो नहीं हो सकता !]</p> <p>टोपोलोजी गणित कि नयी शाखाओं में से है. करीब ९० साल पहले इसे गणित की एक स्वतंत्र शाखा के रूप में पहचान मिली तो इससे जुड़े लगभग सारे महत्तवपूर्ण सिद्धांत पिछले ५० सालों में दिए गए. पर शुरुआत तो कोनिग्स्बर्ग के पुलों वाले सवाल से ही मानी जाती है जिसका  हल अठारहवी सदी में हुआ. इस सवाल की चर्चा अगली पोस्ट में. टोपोलोजी को गणित की कई पुरानी मान्यताओं में क्रातिकारी परिवर्तन लाने के लिए जाना जाता है. और और गणित को सिर्फ 'अंको की भाषा' वाली परिभाषा से बाहर लाकर खड़ा करने में में तो सबसे ज्यादा योगदान टोपोलोजी का ही है. शुरुआत में यह गणित की कुछ शाखाओं से सम्बंधित था और अक्सर इसे ज्यामिति की शाखा समझ लिया जाता था. पर अब स्वतंत्र रूप से टोपोलोजी ने गणित की सभी शाखाओं के अलावा विज्ञान की कई शाखाओं को प्रभावित किया है. मोटे तौर पर <strong>टोपोलोजी एक ज्यामितीय 'सोच' है</strong>. जिसमें कई वस्तुओँ के सामूहिक ज्यामितीय गुणों का अध्ययन किया जाता है. यह गणित की <strong>एक क्वांटीटेटिव  ना होकर क्वालिटेटिव (किसी भी वस्तु के गुण के बारे में अध्ययन से सम्बंधित) शाखा है.</strong> इसे इस तरह समझा जा सकता है... इसमें किसी सवाल को हल करने की जगह उसके गुणों का अध्ययन किया जाता है. हल करने की जगह ये देखा जाता है कि हल संभव भी है या नहीं. गणित की कई शाखाओं को एक सूत्र में जोड़ने का श्रेय टोपोलोजी को जाता है. एक ऐसी विचारधारा का विकास जिस पर गणित के कई सिद्धांत आधारित हैं. एक प्रयास जो गणित के अब तक विकसित सिद्धांतों को एक सोच के अन्दर समेट सके. </p> <p>टोपोलोजी शुद्ध गणित की एक प्रतिष्ठित शाखा है. जिसमें स्वयंसिद्ध परिभाषित किये जाते हैं फिर उनका इस्तेमाल कर प्रमेय, फिर उन्हें साबित किया जाता है. 'किसी भी वस्तु से सम्बंधित सवालों के बारे में एक गुण को लेकर उसे सही या गलत साबित करना' इसी अवधारणा पर टोपोलोजी का विकास हुआ. <strong>पहले ऐसे कई सवाल हुआ करते थे जिन्हें हल करने के लिए लोग सदियों तक लगे रहे, बिना ये सोचे कि हल संभव भी है या नहीं !</strong> टोपोलोजी की मदद से ऐसे कई <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyORGtXx2M67n4G-UjRKSEQ2hDtusO8fZzBlpTzd9ckl-UdKwMbS8JLTY7psC38oNqjsYqcGTD2yOBT-Xp4xFJwvHES_H_zdLK0uJTl28cqLqljdJDEi2PuKQjcF5kcA4m9o1mZqgNIK0/s1600-h/Tropic%20of%20Cancer%5B3%5D.jpg"><img style="border-right-width: 0px; margin: 5px 5px 5px 0px; display: inline; border-top-width: 0px; border-bottom-width: 0px; border-left-width: 0px" title="Tropic of Cancer" border="0" alt="Tropic of Cancer" align="left" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEict-BCnRtJNjr2WD4zICJOpOTPvY6FbPm-2CdRgb9x5btNX9OY2CVYCbvzbGtxgRNxwC-fkceT_ZmbfuCzc-JkimWxvG85G5nIrhasY_GjYvMYIVgnOG9ZojNmgqWpXoYhQTk1k8qcrlM/?imgmax=800" width="238" height="244" /></a>सवाल सहज हुए. कई सवालों के लिए यह साबित किया गया कि इनका हल संभव ही नहीं है तो कई अन्य के लिए ये कि ऐसे कई सवालों का हल एक ही है और इनमें से किसी एक को भी हल किया गया तो सारे हल  हो जायेंगे. टोपोलोजी में मात्रा या परिमाण(क्वांटिटी) मायने नहीं रखते पर उनके गुण मायने रखते हैं.  <strong>जैसे पुणे और दिल्ली के बीच में कहीं से कर्क रेखा गुजरती है या नहीं ऐसे सवालों के जवाब टोपोलोजी के दायरे में आयेंगे. कहाँ से गुजरती है ये टोपोलोजी के लिए मायने नहीं रखता.</strong> <br />काश जिंदगी और मानवीय सोच भी गणित की तरह होते और उन्हें एक सूत्र में पिरोया जा सकता ! टोपोलोजी जैसे गणित ज्यादा पढने वाले शायद यही सब सोच कर फिलोस्फर (पागल?) हो जाते हैं. </p> <p>बस आज के लिए इतना ही अब ये श्रृंखला चालु कर दी है तो ख़त्म भी करूँगा ही. कब और कितने दिनों के अन्तराल पर पोस्ट करूँगा ये मायने नहीं रखता :)</p> <p>--</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com14tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-7839611857017181832009-07-09T10:58:00.000+05:302009-07-09T11:00:25.860+05:30गणितीय नेकलेस<p>पहले तो सोचा कि शीर्षक रखा जाय <strong>'गणितीय हार'</strong>। लेकिन फिर लगा की इसका मतलब कहीं 'गणित से हुई हार' या 'गणित की हार' ना निकल जाए। वैसे तो युद्ध में गणित का इस्तेमाल खूब हुआ लेकिन असल में हार-जीत में कितना प्रभावी हुआ इसका ठीक-ठीक हिसाब किसी ने नहीं लगाया। युद्ध में किस तरह इस्तेमाल होता था वो फिर कभी। <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi79qdb6yic6oosFpQ7-eqFWU5Fu1bVhL4AuEE37isrjoXRN3fupm8VB9bemrJIT4jdlYkagmlfDXIGQNtyis5XnddbQhzd8NvBUYJ1G418TfEDei4tuNuQl-45Pp8wfUy4Kc94YukJ7b8/s1600-h/Fratal_necklace%5B2%5D.jpg"><img title="Fratal_necklace" style="border-right: 0px; border-top: 0px; display: inline; margin-left: 0px; border-left: 0px; margin-right: 0px; border-bottom: 0px" height="244" alt="Fratal_necklace" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2ZieJVVa4HaagMGgVKk818NpH2tBdPWyFZ6KmoFAGtgGAKbZ4P4fBW1wC9P3RTi5d9tbEjifRTvtq0TDdSzZ_oHujajMlvKe9lCrCqJRsZ5TbnIbXJZRnhDgkZMsvFb7YM9TgpQKLjGk/?imgmax=800" width="198" align="right" border="0" /></a> पहले तो आप ये 'हार' देखिये। ये <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal">फ्रैक्टल</a> से प्रेरित होकर बनाया गया है। और इसका नाम रखा गया है 'जूलिया नेकलेस'। </p> <p>फ्रेंच गणितज्ञ <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Gaston_Julia">गेस्टन जूलिया</a>* के नाम पर। उनके नाम पर गणित में <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set">जूलिया समुच्चय (जूलिया सेट)</a> होते हैं जिनका फ्रैक्टल के सिद्धांतों से गहरा नाता है। बात तो <a href="http://kuchh-baatein.blogspot.com/2009/06/blog-post_30.html">टोपोलोजी</a> की करनी थी लेकिन इस हार ने मन मोह लिया तो आज यही सही। यह नेकलेस फ्रैक्टल से प्रेरित है, दिवाली पर मैंने कुछ फ्रैक्टल पोस्ट किए थे <a href="http://kuchh-baatein.blogspot.com/2008/10/blog-post_27.html">'गणितीय रंगोली'</a> के नाम से। कुछ फ्रैक्टल के चित्र आप वहां देख सकते हैं। फ्रैक्टल का एक महत्वपूर्ण गुण रिपीटेटिव पैटर्न होता है। अर्थात फ्रैक्टल एक छोटा से छोटा हिस्सा भी पूरे हिस्से का एक छोटा रूप होता है। </p> <p>बुशेरोन कंपनी के लिए <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Marc_Newson">डिजाइनर मार्क न्यूसन</a> द्वारा डिजाईन किये गए २००० हीरों और और नीलम जड़े इस हार को बनाने में १५०० घंटे लगे। संभवतः ये <a href="https://www.boucheron.com/">बुशेरोन</a> कंपनी द्बारा बनाया गया अब तक का सबसे महंगा नेकलेस है। </p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>*जूलिया पुरूष गणितज्ञ थे। </p> <p>साभार <a href="http://www.fastcompany.com/blog/cliff-kuang/design-innovation/marc-newsons-gobsmacking-fractal-necklace">यहाँ</a> और <a href="http://themoment.blogs.nytimes.com/2009/07/02/geek-chic-a-matter-of-fractals/">यहाँ</a> से।</p>Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com17tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-42105336785147601822009-06-30T04:30:00.000+05:302009-06-30T04:30:11.640+05:30टोपोलोजी और फक्का !<p><strong>पहले परिचय फक्का से.</strong> वाक्य प्रयोग के हिसाब से फक्का या तो खाने की चीज होती है या लगने वाली. पर वास्तव में कम से कम खाने की तो नहीं होती ! हमारे कॉलेज में ग्रेडिंग होती है और 'ए' से 'एफ' तक (‘इ’ छोड़कर) ग्रेड मिलते हैं. कॉलेज शब्दावली में इन्हें क्रमशः इक्का, बिक्का, सिक्का, डिक्का और फक्का कहा जाता है. अब तो आप समझ ही गए होंगे फक्का मतलब न्यूनतम ग्रेड अर्थात फेल ! तो ये शब्द खूब इस्तेमाल होता था. वैसे फक्का शब्द का मूल शब्द 'एफ' ग्रेड है या ‘चार अक्षरीय एफ शब्द’ कई चर्चाओं के बाद भी ये अब तक अनजान ही है. विद्वानों में इस पर मतभेद है और जब तक कोई भाषाविज्ञानी इस पर काम नहीं करता हम ये मानते हैं कि फिलहाल दोनों ही संभव है. :)</p> <p><strong>अब बात टोपोलोजी की</strong>. टोपोलोजी गणित की एक मुख्य शाखा है. <strong>वैसे नाम सुनकर तो यही लगता है कि कुछ ऐसा गणित होता होगा जिसमें टोपने की कला सिखाई जाती होगी ! टोपने के फोर्मुले ! </strong>(अब टोपना क्या होता है ये नहीं पता तो किसी भी कनपुरिये से पूछ लीजिये. मुझे पूरा यकीन है कि से शब्द कैम्पस के बाहर से आया होगा). पर जब पता चला कि टोपोलोजी निर्विवाद रूप से सबसे ज्यादा फक्के लगाने (खिलाने) वाला कोर्स होता है तो लगा कि टोपोलोजी शायद इसलिए कहते होंगे क्योंकि इसमें टोप के भी कोई पास नहीं हो पाता. अक्सर परीक्षा के पहले ये बात उठती… ‘टोपोगे तो किसका?’ एक आध जिनको समझ में आता वो टोपा-टापी से दूर ही रहने वाले विजातीय लोग हुआ करते थे. और हर बार दो तिहाई क्लास फक्का खा जाती. तो गणित नहीं हॉरर हुआ करता था. और भय फर्स्ट इयर से ही चालु हो जाता. अब मध्यकालीन भारत में नादिरशाह आया होगा... तब फ़ोन तो नहीं था फिर भी २-४ गाँव तक आतंक की खबर तो पहुचती ही होगी. वैसे ही भरपूर आतंक हुआ करता टोपोलोजी का भी.</p> <p>कुल मिला के टोपोलोजी का आतंक और फक्को से बड़ा गहरा नाता रहा है. वैसे अजीब विषय है जिनके नंबर आते हैं उनके पूरे आते हैं और बाकी खाता ही नहीं खोल पाते खोलते भी हैं तो ५-१० से आगे नहीं बढ़ पाते. बीच के नंबर लाने वाले बिरले ही होते हैं. पूरी तरह से से अब्सट्रैक्ट गणित होता है जिनको समझ में आये तो एकदम ही. ना आये तो फिर... ! </p> <p>वैसे एक बार इलाहबाद में स्थित <a href="http://www.hri.res.in/">एचआरआई</a> में एक कांफ्रेंस में एक हमउम्र विद्यार्थी से मुलाकात हुई तो उसने बताया 'इस साल तो टोपोलोजी जैसे कुछ स्कोरिंग पेपर थे तो अच्छे नंबर आ गए !' हम तो उसे बड़ी इज्जत कि नजरों से देखे. क्या तेज लड़का है ! फिर उसने बताया '२०-२५ सवाल रट लेने होते हैं और हर साल वही तो आता है पेपर में !'. इससे हमारी उच्च शिक्षा के स्तर का पता चलता है, कितनी मददगार है न !. खैर हमें तो बहुत दुःख हुआ... काश ! हम भी वैसे पास हुए होते. कहाँ हमारे क्लास के रणबांकुरे चौथी बार में पास हुए थे. खैर आपको बता देता हूँ भले किसी लड़की से उसकी उम्र १० बार पूछियेगा किसी आईआईटी कानपुर/दिल्ली में पढ़े इंसान से टोपोलोजी का ग्रेड और कितनी बार में पास हुआ ये मत पूछियेगा. मैं बस इतना बताये दे रहा हूँ कि एक बार में ही पास हो गया था अब ग्रेड तो नहिये बताऊंगा चाहे कुछ भी हो जाए :)</p> <p>हाँ तो अब मन किया... थोडा आपको बता दिया जाय कि ये चीज क्या होती है ! गणित की इस शाखा और इससे जुड़े कुछ गणितज्ञों के बारे में अगली कुछ कड़ियों में. वैसे एक बात है अगर कोई अच्छा पढाने वाला हो और टोपोलोजी को फील करने वाला इंसान तो फिर ये आनंद की प्राप्ति करने वाला होता है. वैसे मुझे कभी फीलिंग नहीं आ पायी पर कुछ बातें बड़ी रोचक लगी और इससे जुड़े कुछ लोग तो... ! </p> <p>घबराइये नहीं रोचक कहानिया, किस्से और इतिहास ही होगा और आप सब को इक्का तो मिलेगा ही.</p> <p>~Abhishek Ojha~ </p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com27tag:blogger.com,1999:blog-2526480447870762874.post-52429477990967944762009-06-23T04:30:00.000+05:302009-06-23T04:30:07.035+05:30ब्लॉग्गिंग के खतरे: भाग ५<p><a href="http://kuchh-baatein.blogspot.com/2009/06/blog-post.html">पिछली पोस्ट</a> से जारी...</p> <p>कुछ ब्लॉग व्यवसायिक होते हैं, जैसे कम्पनियों के ब्लॉग. उनके लिए अक्सर ये ब्लॉग समस्या कड़ी कर देते हैं. कानूनी अडचनों के अलावा अक्सर आन्तरिक खबर और व्यवसाय की गोपनीयता/रणनीति सार्वजनिक हो जाती है. अगर ऐसी ब्लॉग्गिंग आपका पेशा है तो भाई ये सब तो आप को पता ही होगा ! अगर नहीं है तो हम आपको फोकट में क्यों बताएं :) यहाँ तो हम जैसे टाइम पास ब्लोगरों के लिए बकबक की जा रही है. </p> <p>तो हम जैसे लोग आप इस बात का ध्यान रखिये... अगर बॉस की बुराई करनी हो, उससे कुछ विवाद चल रहा हो, कुछ आपसी मतभेद या शिकायतें हैं तो उन्हें ब्लॉग से दूर ही रखो तो बेहतर है. नौकरी का खतरा तो वैसे पिछली पोस्ट में आ ही गया था. अगर ज्यादा व्यक्तिगत बातें <a href="http://www.dailymail.co.uk/news/article-1136503/Husband-dumps-wife-online-message-worlds-divorce-Facebook.html">तलाक</a> करवा दें तो आर्श्चय नहीं ! अरे जब खर्राटे लेने तक से तलाक हो सकता है तो ब्लॉग्गिंग की माया तो… ! हाँ एक बात फिर से कहना चाहूँगा. अगर आपको लगता है कि आपका ब्लॉग बहुत कम लोग पढ़ते हैं तो ये आपकी गलतफहमी है. भले ही बहुत कम लोग पढ़ते हैं <strong>पर आप जिसके बारे में लिख रहे हैं उसे तो पता चल ही जाएगा. भले ही वो </strong><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Burkina_Faso"><strong>बुरकीना फासो</strong></a><strong> में रहता हो और उसने हिंदी का नाम भी नहीं सुना हो !</strong> </p> <p>टिपण्णीयों और ब्लॉग पर दिखने वाले विज्ञापनों में अगर अश्लील सामग्री दिखने लगे तो... ? कुछ दिनों पहले रवि रतलामीजी ने इस पर एक पोस्ट लिखा था. और कल ही एक प्रतिष्ठित ब्लोगर के ब्लॉग पर लडकियां उपलब्ध करवाई जा रही थी. तो अब हम क्या कहें !  इसके साथ अगर कोई (स्पैम) टिपण्णी में वायरस या ऐसा ही अश्लील लिंक हो तो आप वहां तक चले ही जायेंगे. अगर वायरस जैसा कुछ हुआ तो क्या-क्या हो सकता है आप जानते ही हैं. </p> <p>एक रोचक और खतरनाक खतरा है. मुंबई हमलों में खबर आई कि आतंकवादी भीतर बैठे ट्विट्टर पर अपडेट देख रहे हैं. वैसे अपने सजग और बुद्धिमान (?) टेलिविज़न चैनलों के होते हुए उन्हें ये करने की जरुरत पड़ी हो ऐसा लगता तो नहीं. फिर भी ये खतरा तो है ही. और हड़बड़ी में लोकप्रिय होने के लिए लोग धकाधक सनसनी खेज खबरें तो ठेलते ही हैं ! खासकर उन्हें जिन्हें ऐसी खबरें मिलती हैं उन्हें सावधानी तो बरतनी ही चाहिए. </p> <p>इसके अलावा अगर आपने कुछ विवादस्पद [थोडा ज्यादा सच :)] लिख दिया और दंगे-वंगे हो जाएँ तो बड़ी बात नहीं होगी. <strong>इसीलिए शायद कहा जाता है सच और सच के सिवाय कुछ नहीं. ज्यादा और कम सच कुछ नहीं होता या तो सच होता है या झूठ. सच और झूठ बाइनरी है जी… बस ० या १ होता है बीच का नहीं.</strong> तो सच से ज्यादा या कम लिखने पर दंगे हो गए तो फिर अब इससे बड़ा खतरा क्या होगा? आप अपने को सच भी साबित नहीं कर पायेंगे जी ! </p> <p>इस पूरी श्रृंखला में छोटे-बड़े जो भी खतरे आये इनमे से ऐसा कोई नहीं जिसे लेकर ब्लॉग्गिंग बंद कर दी जाए. सभी से सावधानी बरतने का संकेत जरूर मिलता है. </p> <p>और फिर अंत में गोल-गोल घुमने के बाद फिर वही बात जहाँ से चालु हुई थी. ये कोई खतरों की एक्सटेंसिव सूची नहीं है. और असली खतरें तो वो होते हैं जो कोई सोच/देख/गिना नहीं सकता. असली अप्रत्याशित खतरे तो ऐसे होते हैं: <strong>'न त्वत्समोऽस्त्यभ्यधिकः कुतोऽन्योलोकत्रयेऽप्यप्रतिमप्रभाव'.</strong> नसीम तालेब के <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/The_Black_Swan_(Taleb_book)">ब्लैक स्वान</a> की तरह जब तक कोई काला हंस ना दिख जाए सब यही मान के चलते हैं कि हंस तो बस श्वेत ही होता है ! वैसे ही जब तक पहली बार कोई अप्रत्याशित घटना नहीं हो जाती हमें सब सुरक्षित ही लगता है. वो खतरा ही क्या जिसके बारे में पहले से जानकारी (भ्रम!) हो. </p> <p>(समाप्त)</p> <p>~Abhishek Ojha~</p> <p>--</p> <p>इन खतरों के बीच में गणित खो गया था. गणित की वापसी अगली पोस्ट से... </p> Abhishek Ojhahttp://www.blogger.com/profile/12513762898738044716noreply@blogger.com32